决胜新高考名校交流2022届高三数学9月联考卷（B）

试卷更新日期：2021-11-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x}} ， B = {x | l n (x + 2) > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1]$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 1]$

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2. 已知复数 $z$ 在复平面内对应点的坐标是 $(2 ， - 1)$ ，则复数 $\frac{z}{i}$ 的虚部是（）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} \neq 0 ，$ 则“ ${a_{n}}$ 是等比数列”是“ ${a_{n}^{2}}$ 为等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知直线 $l ： y = k x + 1$ 与圆 $C ： {(x - \sqrt{3})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $△ A B C$ 是等边三角形，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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5. 《九章算术》原名《九章》，是我国古代数学著作的代表之作，大约成书于秦汉时期，影响了中国数学和世界数学两千余年．小明的数学老师为了拓宽学生视野、增强学生民族自豪感，从《九章算术》中选出4道题目供学生思考解决，已知小明能够独立解决每道题目的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则小明恰好解决2道题目的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{8}{27}$

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6. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > o ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 图象相邻两条对称轴间的距离为 $π$ ，且对任意实数 $x$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{π}{3})$ ．将函数 $y = f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则关于函数 $y = f (x) + g (x)$ 描述不正确的是（）

A、最小正周期是 $2 π$ B、最大值是 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ C、函数在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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7. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 焦点为 $F ， M (m ， 2)$ 是抛物线 $C$ 上一点，且 $| M F | = 3$ ，点 $Р$ 在抛物线 $C$ 上运动，则点 $Р$ 到直线 $l ： y = x - 2$ 的最小距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + e^{| x + 1 |}$ ，实数 $m$ 满足： $f (m - 2) > f (2 m) ，$ 则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{4}{3})$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- \frac{4}{3} ， 0)$ D、 $(- 2 ， 0)$

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二、多选题

9. 在新冠疫情期间，全国人民万众一心，众志成城，在抓防控疫情同时，又能促进复工复产．为了响应政府号召，积极恢复生产，某市相关部门对本市1500个大型企业的复工情况进行了调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是（）

A、其他情况的企业比例为 $37.4 %$ B、从调查的大型企业中任选一个，该企业是暂未全面恢复生产的概率为0.235 C、不超过200个企业倾向于部分岗位恢复生产 D、部分岗位恢复生产或暂未复工的企业超过604个

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10. 已知双曲线 $C ： m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，其焦点 $(0 ， 5)$ 到渐近线的距离为 $3$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ C、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$ D、双曲线 $C$ 上的点到焦点距离的最小值为1

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11. $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，对 $\forall x \in R$ ，均有 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \log_{2} (2 - x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个周期为 $4$ B、 $f (2022) = 1$ C、当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = - \log_{2} (4 - x)$ D、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2021]$ 内有 $1010$ 个零点

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12. 如图，等边三角形 $A B C$ 边长为 $3 ， D ， E$ 分别在边 $A B ， A C$ 上，且满足 $A D = A E = 2 ， B C$ 边上的中线 $A F$ 与 $D E$ 相交于 $G$ ，将 $△ A D E$ 绕 $D E$ 旋转到 $△ A' E D (A'$ 在平面 $B C E D$ 外)，如图所示，则下列命题中，正确的是（）

A、平面 $A' F A ⊥$ 平面 $A' D E$ B、点 $M$ 在 $A' E$ 上，且满足 $A' M = \frac{3}{4} A^{'} E$ ，则 $M F / /$ 平面 $A' D B$ C、当二面角 $A^{'} - D E - C$ 为 $\frac{2 π}{3}$ 时， $A' A ⊥$ 平面 $A' B C$ D、当三棱锥 $A^{'} - E F D$ 的体积有最大值时二面角 $A' - B D - C$ 的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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三、填空题

13. 某学校安排甲，乙等5位中层干部深入4个班级进行班级课堂教学调研，每班至少安排一位中层干部，若甲、乙不能安排到同一个班级，则不同的安排方法共有种(用数字作答)．

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14. $△ A B C$ 中， $A B = A C = 3 ， A B ⊥ A C ，$ 点 $D$ 在直线 $B C$ 上，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 等于．

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15. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A C = 3 ， A A_{1} = 2$ ，点 $D$ 在棱 $B_{1} C_{1}$ 上且满足 $C_{1} D = 2 D B_{1} ，$ 则三棱锥 $A - D B C$ 的外接球的表面积为．

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16. 已知 $f (x) = \ln x + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是．若方程 $(a x + f (x)) \cdot (x + f (x)) = x^{2}$ 至少有三个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 3$ ，在① $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 3 (n \in N^{*}) ，$ ② $S_{n} = \frac{3}{2} (3^{n} - 1)$ ，③ $\frac{1}{3} a_{1} + \frac{1}{3^{2}} a_{2} + \frac{1}{3^{3}} a_{3} + \dots + \frac{1}{3^{n}} a_{n} = n (n \in N^{*})$ 这三个条件中任选一个，解答下列问题．

(1)、求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若设 $b_{n} = {log}_{3} a_{2 n - 1}$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{2}$
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A ， B ， C$ 均在半径为 $2$ 的 $⊙ O$ 上，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 b = \sqrt{3} a sin B + b cos A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 2 a$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 1.学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为了顺利实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某市教育局为了解全市教职工在“学习强国”中每天学习得分情况，从全市教职工中随机抽取1000名教职工，得到他们平均每天的学习得分，得分都在

[15 ， 50]

内，将他们的得分分为七组：

[15 ， 20) ， [20 ， 25) ， [25 ， 30)

，

[30 ， 35) ， [35 ， 40) ， [40 ， 45) ， [45 ， 50]

后得到频率分布直方图如图所示．

(1)、从样本中得分不低于40的教职工中用分层抽样的方法抽取12人，然后从这12人中随机抽取3人进行学习体会交流，用

X

表示参加学习体会交流且得分不低于45分的人数，求

X

的分布列和期望；

(2)、某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：

天数	1	2	3	4	5	6	7
一次最多答对题数	12	15	16	18	21	24	27

由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与第x天之间可用线性模型拟合，请用相关系数加以说明，并求出 $y$ 关于 $x$ 的回归方程．

参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.45 ， \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 600 ， \sum_{i = 1}^{7} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 28 ， \sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 168$

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归直线方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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20. 如图， $P$ 为圆锥的顶点， $О$ 是圆锥底面的圆心， $A C$ 为底面直径， $△ A B D$ 为底面圆 $О$ 的内接正三角形，且边长为 $\sqrt{3} ， E$ 在母线 $P C$ 上，且 $A E = \sqrt{3} ， C E = 1 ， E C ⊥ B D$ ．

(1)、求证：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、设线段 $P O$ 上动点为 $M$ ，求直线 $D M$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值的最大值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0)$ ，且经过点 $A (\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $Р$ 上点作一条切线 $l$ 与直线 $x = 1$ 相交于点 $N ，$ 与直线 $x = 4$ 相交于点 $Q$ ，证明 $P F_{2} ⊥ F_{2} Q$ 并判断 $\frac{| N F_{2} |}{| Q F_{2} |}$ 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x - 2 (a + 2) x + a ln x (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $- 1 < a < 0$ ，求证：函数 $f (x)$ 有两个不同零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} > 2$ ．

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