江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期数学10月阶段测试试卷

试卷更新日期：2021-11-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | (x - 2) (x + 1) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. “ $x y > 1$ ”是“ $x > 1 ， y > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. ${(2 x - 1)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、4 B、-4 C、32 D、-32

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4. 对数的创始人约翰·奈皮尔（JohnNapier ， 1550—1617）是苏格兰数学家.直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.人们才认识到指数与对数之间的天然关系.对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，而且要算几个大数的连乘，往往需要花费很长时间.基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法.现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如 $2^{10} = 1024 \in (10^{3} ， 10^{4})$ ，所以 $2^{10}$ 的数位为4（一个自然数数位的个数，叫做数位）.则 $2021^{100}$ 的数位是（）.（注 $\lg 2021 \approx 3.30557$ ）

A、329 B、330 C、331 D、332

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5. 函数 $f (x) = \frac{x - 2 \sin x}{x^{2} + 1}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a > \frac{3}{2}$ 且 $a \ln \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \ln a$ ， $b > 2$ 且 $b \ln 2 = 2 \ln b$ ， $c > \frac{5}{2}$ 且 $c \ln \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \ln c$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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7. 已知△ $A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ 若 $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ，且△ $A B C$ 内切圆面积为 $9 π$ ，则△ $A B C$ 面积的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $9 \sqrt{3}$ D、 $27 \sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} + a ， x \in [m ， n]$ 的值域为 $[m ， n] (m < n)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{3}{4} ， \frac{1}{4})$ B、 $(- 1 ， - \frac{1}{4})$ C、 $[0 ， \frac{1}{4})$ D、 $(- \frac{3}{4} ， 0]$

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二、多选题

9. 下列命题中，真命题的是（）

A、 $\forall α ， β \in R ， \sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$ B、 $\exists x_{0} \in R ， e^{x_{0}} \leq 1$ C、 $\forall x \in R ， x^{3} > 0$ D、 $\exists α_{0} \in R ， \sin α_{0} = \frac{π}{3}$

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10. 不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（）

A、 $a = 30 ， b = 25 ， A = 150^{\circ}$ ，有一解 B、 $a = 7 ， b = 14 ， A = 30^{\circ}$ ，有两解 C、 $a = 6 ， b = 9 ， A = 45^{\circ}$ ，有两解 D、 $a = \sqrt{3} ， b = \sqrt{6} ， A = 60^{\circ}$ ，无解

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11. 已知正三棱锥 $S - A B C$ 的底面边长为6，侧棱长为 $4 \sqrt{3}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、侧棱 $S A$ 与底面 $A B C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ B、侧面 $S A B$ 与底面 $A B C$ 所成角的正切值为 $2 \sqrt{3}$ C、正三棱锥 $S - A B C$ 外接球的表面积为 $64 π$ D、正三棱锥 $S - A B C$ 内切球的半径为 $\sqrt{13} - 1$

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin | x | + | \cos x |$ ，下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{2}{3} π ， \frac{7}{6} π]$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 是最小正周期为 $2 π$ 的周期函数 C、若 $1 < m < 2$ ，则方程 $f (x) = m$ 在区间 $[0 ， π]$ 内，最多有4个不同的根 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- 10 ， 10]$ 内，共有6个零点

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三、填空题

13. 已知 $p ： x > 1$ 是 $q ： x > a$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 已知 $α$ 为锐角，若 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4})$ 的值为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A$ 为钝角，且 $4 \sin B \sin C = \sin^{2} A$ ， $\sin B + \sin C = m \sin A$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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16. 已知不等式 $(e^{x} - a x) (x^{2} + a x + 1) \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin x$

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(\frac{π}{3} ， f (\frac{π}{3}))$ 处的切线方程；

(2)、求该函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最值.

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18. 为丰富师生的课余文化生活，倡导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为 $X$ .

(1)、求选出的4名同学中只有女生的概率；

(2)、求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望.

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19. 已知函数 $f (x) = 6 \cos x \sin (x - \frac{π}{6}) + \frac{3}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴方程；

(2)、若函数 $y = f (x) - a$ 在 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{5π}{12}]$ 存在零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + m \cdot 2^{- x}$ 是奇函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若在 $△ A B C$ 中存在角 $A$ ，使得 $f (λ + λ \sin A) + f (- \cos^{2} A - 1) > 0$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且满足 $c^{2} = a^{2} + a b ，$ 记 $△ A B C$ 的面积为S.

(1)、求证： $C = 2 A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 4$ ，且 $λ < S$ 恒成立，求实数 $λ$ 的范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{3} + k e^{x} (k \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、当 $k = 1$ 时，求函数 $g (x) = x f^{'} (x) - 2 f (x) - x^{3} + x + 2$ 的单调区间；

(2)、当 $k \geq 0$ 时，求证：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < \frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2}$ .

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