江苏省高邮市2022届高三上学期数学10月学情调研试卷

试卷更新日期：2021-11-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数是（）

A、 $i + 2$ B、 $i - 2$ C、 $- 2 - i$ D、 $2 - i$

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2. 已知集合 $A = {0$ ，1，2，3， $4}$ ， $B = {(x ， y) | x \in A$ ， $y \in A$ ， $x - y \in A}$ ，则 $B$ 中所含元素的个数为（）

A、5 B、6 C、10 D、15

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3. 下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = | \sin x |$ B、 $y = \cos x$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \cos \frac{x}{2}$

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4. 已知 $g (x) = f (2 x - 1) + 1$ ，且 $g (x)$ 的定义域为 $(1$ ， $4]$ ，值域为 $[3$ ， $+ \infty)$ ，设函数 $f (x)$ 的定义域为 $A$ ､值域为 $B$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[4$ ， $7]$ C、 $[2$ ， $7]$ D、 $[2$ ， $\frac{5}{2}]$

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5. 若不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $[- 3 ， 0)$ C、 $[- 3 ， 0]$ D、 $(- 3 ， 0]$

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6. 已知 $a = \sin \frac{1}{2} ， b = - \log_{2} \sin \frac{1}{2} ， c = 2^{- \sin \frac{1}{2}}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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7. 已知正 $n$ 边形的边长为 $a$ ，内切圆的半径为 $r$ ，外接圆的半径为 $R$ ，则 $R + r = \frac{a}{2 \tan β}$ ，其中 $β =$ （）

A、 $\frac{π}{n}$ B、 $\frac{π}{2 n}$ C、 $\frac{π}{3 n}$ D、 $\frac{π}{4 n}$

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8. 某一辆汽车经过多次实验得到，每小时耗油量 $Q$ （单位： $L)$ 与速度 $v$ （单位： $km/h) (0 ⩽ v ⩽ 120)$ 的下列数据：

$v$

0

40

60

80

120

$Q$

0.000

6.667

8.125

10.000

20.000

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下四种模型供选择：甲： $Q = a v^{2} + b v + c$ ，乙： $Q = a v^{3} + b v^{2} + c v$ ，丙： $Q = {0.5}^{v} + a$ ，丁： $Q = k \log_{a} v + b$ .其中最符合实际的函数模型为（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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二、多选题

9. 在 $a > b > 0$ 的条件下，下列不等式一定成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c} (c > 0)$

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10. 将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，可得下列哪些函数（）

A、 $y = \sin 2 x$ B、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = \cos (\frac{5 π}{6} - 2 x)$ D、 $y = \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$

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11. 函数 $y = g (x)$ 在区间 $[a$ ， $b]$ 上连续，对 $[a$ ， $b]$ 上任意二点 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ，有 $g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2}$ 时，我们称函数 $g (x)$ 在 $[a$ ， $b]$ 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即 $g^{″} (x) > 0$ .下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（）

A、 $f (x) = \log_{2} x (x > 0)$ B、 $f (x) = 2 e^{- x} + x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x (x < 0)$ D、 $f (x) = \sin x - x^{2} (0 < x < π)$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，已知 $∠ A = \frac{π}{3} ， c = 2$ ，下列哪些条件一定能够得到 $b = 3$ ？（）

A、 $a = 4$ B、 $\tan B = 3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sin A = \sqrt{7} \sin B$ D、 $B C$ 边上的中线长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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三、填空题

13. 已知一个矩形的周长为 $16 cm$ ，则矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为.

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14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x) =$ .
① $f (x + \frac{π}{2}) = f (x - \frac{π}{2})$ ；

② $f (x + \frac{π}{4})$ 为偶函数；

③当 $x \in (0 ， \frac{π}{4})$ 时，导函数 $f^{'} (x) < 0$ .

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15. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.则函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 图象的对称中心为.

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16. 根据事实： $1 = 1$ ， $1 + 3 = 2^{2}$ ， $1 + 3 + 5 = 3^{2}$ ， $1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$ ，……，写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题为，该命题的否定为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x + m$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为1，

(1)、求常数 $m$ 的值；

(2)、若 $α \in (\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}) ， f (α) = \frac{16}{5}$ ，试求 $\cos (α + \frac{π}{3})$ 的值.

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 于点 $F$ .

(1)、若平面 $P A B \cap$ 平面 $P C D = l$ ，求证： $A B / / l$ ；

(2)、求平面 $E F D$ 与底面 $A B C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：

日需求量

14

15

16

17

18

19

频数

10

20

25

20

15

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(1)、若商家一天购进该商品16件， $X$ 表示当天的利润（单位：元），求 $X$ 的分布列，数学期望；

(2)、若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.

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20. 四边形 $A B C D$ 为圆内接四边形， $A D = B C = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $∠ D A C = \frac{π}{6}$ ，求 $A B$ ；

(2)、若 $A B = 2 C D$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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21. 已知函数 $g (x) = \ln x - \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、令 $f (x) = 2 \cos x + g (x)$ ，判断函数 $f (x)$ 的零点个数，并证明你的结论.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln (x + 1) + \ln a - 1$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x + \ln 2 + b$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $f (x) ⩾ 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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$v$	0	40	60	80	120
$Q$	0.000	6.667	8.125	10.000	20.000

日需求量	14	15	16	17	18	19
频数	10	20	25	20	15	10