湖南省永州市2021-2022学年高三上学期数学第一次适应性考试试卷

试卷更新日期：2021-11-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x \geq - 3}$ ， $N = {x | x^{2} \leq 4}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 3 ， - 2]$ B、 $[- 3 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $[- 3 ， + \infty)$

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2. 若复数z $= \frac{i}{1 - i}$ (i是虚数单位)，则|z|=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 过圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的圆心且与直线 $x + y = 0$ 垂直的直线方程为（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $x - y - 2 = 0$ C、 $x - y + 2 = 0$ D、 $x + y + 2 = 0$

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4. 永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（）

A、480 B、240 C、384 D、1440

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5. 已知 $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（）

A、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ D、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$

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6. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = n + \frac{25}{n}$ ，则 $| a_{1} - a_{2} | + | a_{2} - a_{3} | + \dots + | a_{24} - a_{25} | =$ （）

A、25 B、32 C、62 D、72

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7. 若 $\tan α = 2 \tan \frac{π}{5}$ ，则 $\frac{\sin (α - \frac{4 π}{5})}{\sin (α - \frac{π}{5})} =$ （）

A、－5 B、－3 C、3 D、5

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x + 1)$ 为奇函数.若 $f^{'} (1) = - 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 9 ， f (- 9))$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x - y + 14 = 0$ B、 $2 x + y + 14 = 0$ C、 $2 x + y + 18 = 0$ D、 $2 x - y + 18 = 0$

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9. “直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（）

A、该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍 B、该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的 $\frac{1}{3}$ C、该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的 $\frac{1}{6}$ D、该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和

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二、多选题

10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上为减函数的充分条件是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称

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11. 已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 在双曲线的右支上，则（）

A、当 $| P O | = | P F_{2} |$ 时，双曲线的离心率 $e \geq 2$ B、当 $△ P O F_{2}$ 是面积为2的正三角形时， $b = 2$ C、当 $A$ 为双曲线的右顶点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $| P F_{2} | = | A F_{2} |$ D、当射线 $F_{2} P$ 与双曲线的一条渐近线交于点 $Q$ 时， $| | Q F_{1} | - | Q F_{2} | | > 2 a$

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12. 已知函数 $f (x) = (a x + 2) e^{x} - x - 2$ ，则（）

A、当 $a = 0$ ， $x_{1} > x_{2}$ 时， $f (x_{1}) - f (x_{2}) > x_{2} - x_{1}$ B、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 有最值 C、当 $- 2 < a \leq - 1$ 时， $f (x)$ 为减函数 D、当 $f (x) < 0$ 仅有一个整数解时， $a \in [0 ， 1]$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 设 $a = \log_{3} 2$ ， $b = 2^{0.2}$ ， $c = \log_{2} 0.2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 从小到大的顺序为.

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15. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，过焦点 $F$ 作倾斜角为 $60 °$ 的直线与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点， $P$ ， $Q$ 在 $C$ 的准线上的投影分别为 $M$ ， $N$ 两点，则 $| M N | =$ .

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16. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A D = A A_{1} = 6$ ，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D A}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ .若 $λ + μ = 1$ ，则三棱锥 $B - C_{1} D P$ 的体积为；若 $M$ 为 $C D$ 的中点，且 $∠ A P B = ∠ D P M$ ，则点 $P$ 的轨迹与长方体的侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 的交线长为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} ， n 为奇数 \\ a_{n} + 1 ， n 为偶数 \end{array}$ .

(1)、求 $a_{4}$ ；

(2)、记 $b_{n} = a_{2 n} + 2$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 为等比数列.

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ B C D = 120 °$ ，四边形 $A C F E$ 为矩形，且 $F C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = F C = \frac{1}{2} A B$ .

(1)、证明：平面 $A C F E ⊥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、若 $M$ 为 $E F$ 的中点，求平面 $A B M$ 与平面 $B C F$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $B C ⊥ C D$ ， $A D = 2$ ， $A C = 3$ ， $\sin ∠ A D C = \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $∠ A C D$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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20. 某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召，开展了“学党史，强信仰，跟党走”的主题学习活动.在一次“党史”知识竞赛活动中，给出了 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三道题，答对 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别得2分、2分、4分，答错不得分.已知甲同学答对问题 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，乙同学答对问题 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.

(1)、求甲同学至少有一道题不能答对的概率；

(2)、请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中，哪位同学得分高.

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21. 已知离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点及右焦点分别为点 $A$ 、 $F$ ，且 $| A F | = 3$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $P$ 是直线 $l$ 上异于 $F$ 的点，且 $| M F | \cdot | P N | = | N F | \cdot | P M |$ ，证明：点 $P$ 在定直线上.

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22. 已知函数 $f (x) = {(\ln x)}^{2} + a (x + \frac{1}{x})$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有三个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ .
（i）求实数 $a$ 的取值范围；

（ii）证明： $x_{1} x_{2} x_{3}$ 为定值.

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