高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

试卷更新日期：2021-11-26 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\pm 1 ， 0)$ B、 $(0 ， \pm 1)$ C、 $(\pm \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ D、 $(0 ， \pm \frac{\sqrt{2}}{2})$

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2. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过点 $P (1, \frac{1}{2})$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $P$ 为 $A B$ 的中点，则直线AB的方程为（）

A、 $3 x - 2 y - 2 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 4 = 0$ C、 $3 x + 4 y - 5 = 0$ D、 $3 x - 4 y - 1 = 0$

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3. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，双曲线 $C$ 的右支上一点 $Q$ 满足 $| O Q | = | O F_{1} |$ ，直线 $F_{1} Q$ 与该双曲线的左支交于 $P$ 点，且 $P$ 恰好为线段 $F_{1} Q$ 的中点，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm 2 \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 3 \sqrt{2} x$

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4. 实轴长与焦距之比为黄金数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 是黄金双曲线，则 $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 2}{2}$ D、 $\frac{9 - 4 \sqrt{5}}{4}$

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5. 已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{\cos^{2} θ} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} θ} = 1 (0 < θ < \frac{π}{2})$ 的焦点到渐近线的距离等于 $\frac{1}{2}$ ，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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6. 已知 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $A B$ 中点的横坐标为 $4,$ 则 $| A F | + | B F | =$ （）

A、8 B、10 C、12 D、16

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7. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限）．若直线AB的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点A的纵坐标为 $\frac{3}{2}$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若 $A (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，则当 $\frac{| P A |}{| P F |}$ 最大时， $| P F | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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二、多选题

9. 已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别是 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的任意一点，则下列说法正确的是（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 5$ B、直线 $P A_{1}$ 与直线 $P A_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{4}{5}$ C、存在点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ D、若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $4 \sqrt{5}$ ，则点 $P$ 的横坐标为 $\pm \sqrt{5}$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < \sqrt{5})$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，点 $Q$ 是圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 关于直线 $x - y = 0$ 对称的曲线 $E$ 上任意一点，若 $| P Q | - | P F_{2} |$ 的最小值为 $5 - 2 \sqrt{5}$ ，则下列说法正确的是（）．

A、椭圆 $C$ 的焦距为2 B、曲线 $E$ 过点 $F_{2}$ 的切线斜率为 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $A$ 、 $B$ 为椭圆 $C$ 上关于原点对称的异于顶点和点 $P$ 的两点，则直线 $P A$ 与 $P B$ 斜率之积为 $- \frac{1}{5}$ D、 $| P Q | + | P F_{2} |$ 的最小值为2

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是其左、右顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左、右焦点， $P$ 是双曲线上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的任意一点，下列结论正确的是（）

A、 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2 a$ B、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率之积等于定值 $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ C、使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形的点 $P$ 有且仅有8个 D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{b^{2}}{\tan \frac{∠ A_{1} P A_{2}}{2}}$

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12. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，且 $A (2, 1)$ ， $B (x_{1}, y_{1})$ ， $C (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线上， $O$ 为坐标原点．下列说法正确的是（）

A、点 $F$ 的坐标为 $(0, 2)$ B、若 $\vec{F B} + \vec{F C} = \vec{A F}$ ，则 $| \vec{F B} | + | \vec{F C} | = 2 | \vec{A F} |$ C、若 $| \vec{B C} | = 6$ ，则 $B C$ 的中点到 $x$ 轴距离最小值为2 D、若直线 $B C$ 过点 $F$ ，则直线 $O B$ 与 $O C$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ ， $B$ 在椭圆上，且满足 $\vec{A F_{1}} = 2 \vec{F_{1} B}$ ， $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{A F_{1}} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，且离心率 $e = \frac{2}{3}$ ，点 $P$ 是椭圆上位于第二象限内的一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 是腰长为4的等腰三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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15. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 分别与双曲线的左、右支交于点 $A$ 、 $B$ ，若以 $A B$ 为直径的圆过点 $F_{2}$ ，且 $| A F_{2} | = | B F_{2} |$ ，则该双曲线的离心率为．

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 在抛物线 $C$ 上， $P Q$ 垂直 $l$ 于点 $Q$ ， $Q F$ 与 $y$ 轴交于点 $T ， O$ 为坐标原点，且 $| O T | = 2$ ，则 $| P F | =$ ．

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四、解答题

17. 在① $| P F | = x_{0} + 1$ ；② $y_{0} = 2 x_{0} = 2$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在抛物线C上，且___________.

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且 $| A B | = 8$ ，求直线l的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b \geq 1)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆C上一点N到 $Q (0 ， 3)$ 距离的最大值为4，过点 $M (3 ， 0)$ 的直线交椭圆C于点A、B.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设P为椭圆上一点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} = t \vec{O P}$ （O为坐标原点），当 $| A B | < \sqrt{3}$ 时，求实数t的取值范围.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，以 $P F_{1}$ 为直径的圆 $E ： x^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{49}{16}$ 过焦点 $F_{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若椭圆 $C$ 的右顶点为 $A$ ，与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点（ $M$ ， $N$ 与 $A$ 点不重合），且满足 $A M ⊥ A N$ ，点 $Q$ 为 $M N$ 中点，求直线 $M N$ 与 $A Q$ 的斜率之积的取值范围．

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，过点 $T (0 ， p)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 交抛物线 $C$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，当点 $A$ 的横坐标为1时，抛物线 $C$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，线段 $E F$ 的中点为 $N$ ，求 $△ O M N$ 面积的最小值．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $H (2 ， 1)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (- 3 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于A， $B$ 两点，直线 $H A$ ， $H B$ 分别交 $x$ 轴于 $M$ ， $N$ 两点，点 $G (- 2 ， 0)$ ，若 $\vec{P M} = λ \vec{P G}$ ， $\vec{P N} = μ \vec{P G}$ ，求证： $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 为定值．

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22. 已知等轴双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)经过点( $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ).

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、已知点B(0，1).
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；

②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点， $k_{A P} + k_{A Q}$ 为定值 $λ$ ，求点A的坐标及实数 $λ$ 的值.

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高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程