湖南省郴州市2022届高三上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-11-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x \in R | - 1 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0 ， 2]$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 若复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 满足 $(2 - i) \bar{z} = i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\tan α = \frac{\cos α}{2 - \sin α}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为 $2 π$ ，那么该圆锥的体积是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$

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5. 食用油有两种制取工艺：压榨法和浸出法.压榨法由于不涉及添加任何化学物质，榨出的油各种成分保持较为完整，但缺点是出油率低；浸出法制油粕中残油少，出油率高，油料资源得到了充分的利用.我国植物油料种类繁多，而压榨法和浸出法这两种油脂制取工艺分别适用于不同的油料，常见的采用压榨油的有芝麻油､花生油等，常见的采用浸出油的有油菜籽油，大豆油等.现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油､花生油､油菜籽油､大豆油，从中任取一桶，则下列两个事件互为对立事件的是（）

A、“取出芝麻油”和“取出花生油” B、“取出浸出油”和“取出大豆油” C、“取出油菜籽油”和“取出大豆油” D、“取出压榨油”和“取出浸出油”

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6. 若 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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7. 已知点 $P$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点，点 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的左､右焦点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径的最大值为 $a - c$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x \ln x + a ， x > 0 \\ x + 2 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最大值为3，则 $a$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、0 D、2

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二、多选题

9. 给出下列命题，其中正确命题是（）

A、若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ （数据各不相同）的平均数为2，则样本数据 $2 x_{1} - 3$ ， $2 x_{2} - 3$ ，…， $2 x_{n} - 3$ 的平均数为3 B、随机变量 $X$ 的方差为 $D (X) = 1$ ，则 $D (2 X + 1) = 4$ C、随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ， $P (X > 1) = 0.72$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.22$ D、将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用 $X$ 表示出现正面向上的次数，则 $P (X = 1) = 0.5$

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10. 如图，在直角坐标系中， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 2$ ， $∠ x O A = ∠ x O B = 30 °$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴上且 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2 \sqrt{3}$ B、 $| \vec{O C} | = 2 \sqrt{3}$ C、与 $\vec{O A}$ 共线的单位向量的坐标可以是 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ ､ $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $\vec{C A}$ 与 $\vec{C B}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{13}{14}$

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11. 已知直线 $l$ ： $(m - 1) x + (2 m - 1) y - 4 m + 4 = 0$ 和圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(4 ， 0)$ B、圆 $C$ 被 $x$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4 D、直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4

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12. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $D$ ､ $D_{1}$ 分别是 $A C$ ､ $A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是 $A_{1} D$ 上的动点，则下列结论中正确的是（）

A、直线 $A P$ ， $B_{1} D_{1}$ 所成的角的大小随点 $P$ 的位置变化而变化 B、三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 的体积是定值 C、直线 $B_{1} C$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成的角的余弦值是 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积是 $24 π$

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三、填空题

13. 已知 ${(1 + \frac{1}{3} x)}^{n} (n \in N^{*})$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数是5，则 $n =$ .

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14. 已知曲线 $f (x) = a \ln x + b$ 的一条切线为 $y = a x - 2$ ，则 $a - b =$ .

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15. 边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形的一个顶点在原点，另外两个顶点在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，点 $N (\frac{5}{4} ， y_{0})$ 在抛物线上，则线段 $N F$ 的中点到抛物线的准线的距离为.

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16. 依次将一数列的每相邻两项之积及原数列首尾项（仍为新数列的首尾项），构造新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，2，2；第2次得到数列1，2， $2^{2}$ ，2；第3次得到数列1，2， $2^{3}$ ， $2^{3}$ ，2；依次构造，第 $n (n \in N^{*})$ 次得到数列1， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，…， $a_{k}$ ，2；记 $b_{n} = 1 \cdot a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{k} \cdot 2$ ，则 $b_{4} =$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $H_{n}$ ，则 $H_{n} =$ .

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项的和 $T_{2 n}$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c > a > b$ ， $2 a \sin C - \sqrt{3} c = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、已知 $A B = 2$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $C D^{2} = a b$ ，求 $△ A B C$ 面积.

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19. 东江湖位于湖南省郴州市东北部的资兴市境内，是湖南省唯一一个同时拥有国家5A级旅游区､国家风景名胜区､国家生态旅游示范区､国家森林公园､国家湿地公园､国家水利风景区“六位一体”的旅游区.境内主要景观有：雾漫小东江､东江大坝､龙景峡谷､兜率灵岩､东江漂流､三湘四水·东江湖文化旅游街（含东江湖奇石馆､摄影艺术馆､人文潇湘馆），还有仿古画舫､豪华游艇游湖及惊险刺激的的水上跳伞､水上摩托等.东江湖融山的隽秀，水的神韵于一体，挟南国秀色､禀历史文明于一身，被誉为“人间天上一湖水，万千景色在其中”.每年都吸引无数游客来此游玩，某调查机构在景区随机调查了10名青少年人和8名中老年人，并请他们谈谈是否有“二次游”愿望，结果10名青少年人中有

\frac{4}{5}

的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有

\frac{1}{4}

的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望.

(1)、根据以上统计数据，完成下列

2 \times 2

列联表，分析是否有

95 %

把握认为有“二次游”愿望与年龄有关？

	有“二次游”愿望	无“二次游”愿望	合计
青少年人
中老年人
合计

(2)、从这10名青少年人中抽取2人，8名中老年人中抽取1人，将3人中有“二次游”愿望人数记为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // D C$ ， $∠ D A B = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2 A D = 2 P B = 2 P C = 2$ ，且 $P B ⊥ P C$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，三棱锥 $P - A C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $B - P A - D$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，点 $P$ ､ $Q$ ､ $R$ 分别是椭圆 $C$ 的上､右､左顶点，且 $\vec{P Q} \cdot \vec{P R} = - 3$ ，点 $S$ 是 $P F_{2}$ 的中点，且 $| O S | = 1$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $T (- 1 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于点 $M$ ､ $N$ ，若 $△ Q M N$ 的面积是 $\frac{12}{5}$ ，求直线 $M N$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x + m - 1} - {(x - 1)}^{3}$ ， $g (x) = \ln x + 2$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为1，求实数 $m$ 的值；

(2)、当 $m \geq 1$ 时，证明： $f (x) > g (x) - {(x - 1)}^{3}$ .

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