重庆市缙云联盟2021-2022学年高二上学期数学10月质量检测试卷

试卷更新日期：2021-11-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | | x | \leq 2 ， x \in R}$ ， $N = {x | x^{2} \leq 4 ， x \in N}$ ，则（）

A、 $M = N$ B、 $M ⊊ N$ C、 $M ⊋ N$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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2. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 0 ， \\ x - 2 ， x ⩽ 0 ， \end{array}$ 直线 $y = a$ 与 $y = f (x)$ 的图象相交于A、B两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $e^{- 2}$ D、 $\ln 2$

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3. 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线 $C$ 的右支在第一象限的交点为 $A$ ，与 $y$ 轴的交点为 $B$ ，且 $B$ 为 $A F_{1}$ 的中点，若 $△ A B F_{2}$ 的周长为 $6 a$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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4. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 作一条倾斜角为 $60 °$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $3 | F M | = | O F |$ （ $O$ 为坐标原点），则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 命题 $\forall x \in (- 1 ， 0) ， x^{2} + x < 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in (- 1 ， 0) ， x^{2} + x > 0$ B、 $\forall x \in (- 1 ， 0) ， x^{2} + x \leq 0$ C、 $\exists x \in (- 1 ， 0) ， x^{2} + x > 0$ D、 $\exists x \in (- 1 ， 0) ， x^{2} + x \geq 0$

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6. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = \sqrt{2} A D ， E ， F$ 分别为 $B B_{1} ， A B$ 的中点，则（）

A、 $A C_{1} / /$ 平面 $D E F$ 且 $A_{1} C_{1} ⊥ D F$ B、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $D E F$ 且 $A_{1} C_{1}$ 与 $D F$ 不垂直 C、 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $D E F$ 相交且 $A_{1} C_{1} ⊥ D F$ D、 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $D E F$ 相交且 $A_{1} C_{1}$ 与 $D F$ 不垂直

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7. 已知 $E F$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$ 的一条弦，且 $C E ⊥ C F$ ， $P$ 是 $E F$ 的中点，当弦 $E F$ 在圆 $C$ 上运动时，直线 $l ： x - y - 3 = 0$ 上存在两点 $A ， B$ ，使得 $∠ A P B \geq \frac{π}{2}$ 恒成立，则线段 $A B$ 长度的最小值是（）

A、 $3 \sqrt{2} + 1$ B、 $4 \sqrt{2} + 2$ C、 $4 \sqrt{3} + 1$ D、 $4 \sqrt{3} + 2$

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8. 为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革.学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（）

A、都相等，且为 $\frac{1}{18}$ B、不全相等 C、都相等，且为 $\frac{50}{923}$ D、都不相等

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二、多选题

9. 下列四个结论正确的是（）

A、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ 或 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = \frac{π}{2}$ B、若空间中点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $\vec{O C} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、空间中任意向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 都满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， x)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， x ， 4)$ ，若 $x < \frac{2}{5}$ ，则 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ 为钝角

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10. 下列说法正确的是（）

A、空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，则一共可以作210个不同的四面体 B、甲､乙､丙3个人值周，从周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出42种不同的值周表 C、从 $0 ， 1 ， 2 ， \dots ， 9$ 这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有26544个 D、4个不同的小球放入编号为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ 的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有144种

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11. 为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点 $P (x ， y)$ ．若初始位置为点 $P_{0} (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，秒针从 $P_{0}$ （规定此时 $t = 0$ ）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（）

A、 $y = 2 \sin (- \frac{π}{30} t + \frac{π}{3})$ B、 $y = - \sin (\frac{π}{60} t - \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (- \frac{π}{30} t + \frac{π}{3})$ D、 $y = \cos (\frac{π}{30} t + \frac{π}{6})$

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12. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 $\cdot$ 闵可夫斯基所创辞汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点 $A (x_{1}$ ， $y_{1}) B (x_{2}$ ， $y_{2})$ 的曼哈顿距离为： $d (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ .在此定义下以下结论正确的是（）

A、已知点 $O (0 ， 0)$ ，满足 $d (O ， M) = 1$ 的点 $M$ 轨迹围成的图形面积为2 B、已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，满足 $d (M$ ， $F_{1}) + d (M$ ， $F_{2}) = 4$ 的点 $M$ 轨迹的形状为六边形 C、已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，不存在动点 $M$ 满足方程： $| d (M$ ， $F_{1}) - d (M$ ， $F_{2}) | = 1$ D、已知点 $M$ 在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $N$ 在直线 $l ： 2 x + y - 6 = 0$ 上，则 $d (M$ 、 $N)$ 的最小值为 $3 - \frac{\sqrt{5}}{2}$

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三、填空题

13. 已知直线 $y = a x + b$ 与曲线 $y = a \ln x + 2$ 相切，则 $a b$ 的最大值为.

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14. 已知函数 $f (x) = x \sin x$ ，现给出如下命题：
①当 $x \in (- 4 ， - 3)$ 时， $f (x) \geq 0$ ；

② $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递增；

③ $f (x)$ 在区间 $(1 ， 3)$ 上有极大值；

④存在 $M > 0$ ，使得对任意 $x \in R$ ，都有 $| f (x) | \leq M$ .

其中真命题的序号是.

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15. 已知椭圆的两个焦点是 $F_{1} (- 2 ， 0) ， F_{2} (2 ， 0)$ ，且点 $B (0 ， 2)$ 在椭圆上，那么这个椭圆的标准方程是.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x$ ， $g (x) = x^{2} + b x$ ， $a < b < 0$ ，当 $f^{'} (x) \cdot g^{'} (x) \geq 0$ 在区间 $I$ 上成立，则称 $f (x)$ 和 $g^{'} (x)$ 在区间 $I$ 上单调性一致.若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 上的单调性一致，则实数 $a$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a + b = 5$ ， $c = 3$ ， ▲ .是否存在以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为边的三角形？如果存在，求出 $△ A B C$ 的面积；若不存在，说明理由.
从① $\cos C = \frac{1}{3}$ ；② $\cos C = - \frac{1}{3}$ ；③ $\sin C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

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18. 在① $a_{1}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $a_{2}$ 成等差数列，② $a_{1}$ ， $a_{2} + 1$ ， $a_{3}$ 成等比数列，③ $S_{3} = \frac{3}{4}$ ，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $3 S_{n} = a_{n} + 2 a_{1} ， (n \in N^{*})$ ， $a_{1} \neq 0$ ，且________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = - \log_{2} a_{n}^{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图所示，在三棱锥 $P - A B Q$ 中， $P B ⊥$ 平面 $A B Q$ ， $B A = B P = B Q$ ， $D$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A Q$ ， $B Q$ ， $A P$ ， $B P$ 的中点， $A Q = 2 B D$ ， $P D$ 与 $E Q$ 交于点 $G$ ， $P C$ 与 $F Q$ 交于点 $H$ ，连接 $G H$ .

(1)、求证： $A B // G H$ ；

(2)、求平面 $D G H$ 与平面 $G H E$ 的夹角的余弦值.

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20. 某村为巩固脱贫成果，积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销售．现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别从甲．乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了100件作为样本检测其质量指标值（质量指标值越大，质量越好），检测结果如下表所示：

指标区间

频数

$[70 ， 80)$

$[80 ， 90)$

$[90 ， 100)$

$[100 ， 110)$

$[110 ， 120)$

甲种生产方式

乙种生产方式

已知每件中药半成品的等级与纯利润间的关系如下表所示：

指标区间	$[70 ， 90)$	$[90 ， 100)$	$[100 ， 120)$
等级	二级	一级	特级
纯利润	30	50	100

将频率视为概率，解答下列问题．

(1)、分别记利用甲种、乙种加工方式所加工的一件中药材半成品的利润为

X

，

Y

，求

X

，

Y

的分布列；

(2)、从数学期望的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．

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21. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，恒过定点 $M (m ， 0)$ 的直线 $x = k y + m (m > 0)$ 与抛物线交于A ， B ，且A、B到x轴距离之积为 $2 m$ .

(1)、求抛物线方程；

(2)、若 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，求实数m的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$

(1)、若该函数为奇函数，求 $a$ ；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并证明你的结论.

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