辽宁省葫芦岛市协作校2021-2022学年高二上学期数学第一次考试试卷

试卷更新日期：2021-11-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知直线 $l$ 经过点 $(3 ， 1)$ ，且 $l$ 的斜率为-1，则 $l$ 的方程是（）

A、 $y = - x + 4$ B、 $y = x - 2$ C、 $y = - x + 2$ D、 $y = x + 2$

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2. 若空间向量 $\vec{A B} = (1 ， 2 ， - 2)$ ， $\vec{B C} = (- 1 ， - 1 ， 5)$ ，则 $| \vec{A C} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{10}$

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3. 已知直线 $l_{1} ： m x - y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： m x + (m + 2) y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m =$ （）

A、1或-2 B、-2 C、-1或2 D、2

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4. 若直线 $m$ 的斜率 $k \in (- \infty ， - 1) \cup (1 ， \sqrt{3}]$ ，则直线 $m$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $(\frac{3 π}{4} ， π) \cup [\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ B、 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ C、 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}) \cup [\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ D、 $(\frac{3 π}{4} ， π) \cup (\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$

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5. 已知圆 $C_{1} ： {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} ： {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，则圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的位置关系为（）

A、外切 B、相离 C、内切 D、相交

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6. 在正四面体 $D A B C$ 中，点O是 $△ A B C$ 的中心，若 $\vec{D O} = x \vec{D A} + y \vec{D B} + z \vec{D C}$ ，则（）

A、 $x = y = z = \frac{1}{4}$ B、 $x = y = z = \frac{1}{3}$ C、 $x = y = z = \frac{1}{2}$ D、 $x = y = z = 1$

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7. 王老师在课堂上与学生探究直线 $l$ 时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：直线 $l$ 经过点 $(1 ， 2)$ .乙：直线经过点 $(3 ， 9)$ .丙：直线 $l$ 经过点 $(0 ， - 1)$ .丁：直线 $l$ 的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $N$ 为棱 $A D$ 的中点，则直线 $M N$ 与平面 $D B B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、多选题

9. 已知直线 $k x + y + 2 k - 1 = 0$ 恒过点A，直线 $x + m y - 1 = 0$ 恒过点B，点M是y轴上一点，若 $∠ A M B = \frac{π}{2}$ ，则M的坐标可能为（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， - 2)$

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10. 已知直线 $l ： 3 x + 4 y = 0$ ，圆 $C ： x^{2} - 4 x + y^{2} = m - 5$ ，则（）

A、 $m$ 的取值范围为 $(0 ， + \infty)$ B、当 $l$ 与圆 $C$ 相切时， $m = \frac{61}{25}$ C、当 $1 < m < 2$ 时， $l$ 与圆 $C$ 相离 D、当 $l$ 与圆 $C$ 相交时， $m$ 的取值范围是 $(\frac{11}{5} ， + \infty)$

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11. 已知 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 4)$ ， $C (- 2 ， 0)$ ，则（）

A、直线 $x - y = 0$ 与线段 $A B$ 有公共点 B、直线 $A B$ 的倾斜角大于 $135 °$ C、 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线所在直线的方程为 $y = 2$ D、 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的高所在直线的方程为 $x - 4 y + 7 = 0$

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12. 如图， $P$ 为圆锥的顶点，该圆锥的母线长为 $36$ 米，底面圆的半径为 $6$ 米， $Q$ 为底面圆周上一点，一只蚂蚁从点 $A$ 出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线 $P A$ 上的一点 $D$ ，则（）

A、蚂蚁爬行的最短路程为 $20$ 米 B、当蚂蚁爬行的路程最短时， $\vec{D P} \cdot \vec{A Q}$ 的最大值为 $36$ C、蚂蚁爬行的最短路程为 $18 \sqrt{3}$ 米 D、当蚂蚁爬行的路程最短时， $\vec{D P} \cdot \vec{A Q}$ 的最大值为 $72$

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三、填空题

13. 若直线 $a x - y = 0$ 与直线 $4 x - a y + a - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ .

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14. 已知直线 $l_{2}$ 的倾斜角是直线 $l_{1} ： x - 2 y - 3 = 0$ 的倾斜角的 $3$ 倍，且直线 $l_{3}$ 与 $l_{2}$ 垂直，则直线 $l_{3}$ 的斜率为.

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15. 已知直线 $l ： m x + y - m + 3 = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 10 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为.

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16. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知点 $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $M (- 1 ， 2 ， 1)$ ， $N (2 ， 1 ， 1)$ ，则平面 $O M N$ 的一个法向量 $\vec{m} =$ ，异面直线 $O M$ 与 $A N$ 所成角的余弦值为.

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四、解答题

17.

(1)、已知直线 $l_{1} ： 4 x - y - a = 0$ 与 $l_{2} ： 8 x - a y + 30 = 0$ 平行，求这两条直线间的距离；

(2)、若直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距与在 $y$ 轴上的截距相等，且直线 $l$ 不经过坐标原点，但经过 $M (3 ， 4)$ ，求直线 $l$ 的方程.

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E A / / B F / / C G$ ，且 $C G = 1$ ， $B F = 3$ ， $A B = 4$ ， $E A = 5$ .

(1)、证明：平面 $C D G //$ 平面 $A B F E$ .

(2)、求平面 $B F G$ 与平面 $E F G$ 所成角的余弦值.

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19. 已知点 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 4)$ .

(1)、若点 $C$ 在 $x$ 轴上，且 $| C A | = | C B |$ ，求 $△ A B C$ 的重心到 $A B$ 的距离；

(2)、若 $A$ ， $B$ 两点到直线 $l ： a x - y + 3 = 0$ 的距离相等，求 $a$ 的值.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 1 ， 5)$ ， $B (- 2 ， - 2)$ ， $C (5 ， 5)$ ，圆 $M$ 为 $△ A B C$ 的外接圆.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (7 ， 2)$ 作圆 $M$ 的切线，求切线方程.

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21.

(1)、当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图1所示一条光线从点 $A (1 ， 2)$ 出发，经过直线 $y = x - 2$ 反射后到达点 $B (- 3 ， 0)$ ，如图2所示.求反射光线所在直线的方程，并在图2中作出光线从 $A$ 到 $B$ 的入射和反射路径.

(2)、已知 $C (- 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 的斜率小于 $0$ ，且 $l$ 经过点 $A (4 ， 7)$ ， $l$ 与坐标轴交于 $M$ ， $N$ 两点，试问 $△ C M N$ 的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $M$ 为 $P D$ 的中点， $Δ P A D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ C D$ .在四棱锥 $P - A B C D$ 的平面展开图中，点 $P$ 分别对应点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ，且 $A$ ， $B$ ， $P_{1}$ 三点共线， $A$ ， $D$ ， $P_{2}$ 三点共线， $A$ 为 $B P_{1}$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A C M ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、设 $A D = 2$ ，在棱 $P D$ 上是否存在一点 $N$ ，使得 $C N$ 与平面 $P B D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ？若存在，求 $| \vec{C N} |$ ；若不存在，请说明理由.

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