河南省南阳市六校2021-2022学年高二上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-11-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = \frac{1}{3}, a_{2} + a_{5} = 4, a_{n} = 33$ ，则n为（）

A、48 B、49 C、50 D、51

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2. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $\frac{a}{\sin A}$ 为（）．

A、 $\frac{8 \sqrt{3}}{81}$ B、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ C、 $\frac{26 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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3. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $a_{3}^{2} + a_{8}^{2} + 2 a_{3} a_{8} = 9 ， a_{n} < 0$ ，则 $S_{10}$ 等于（）

A、-9 B、-11 C、-13 D、-15

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4. 在数列{a_n}中，若 $a_{1} = 1 ， a_{2} = \frac{1}{2} ， \frac{2}{a_{n + 1}} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n + 2}} (n \in N^{*})$ ，则该数列的通项公式为（）

A、a_n= $\frac{1}{n}$ B、 $a_{n} = \frac{2}{n + 1}$ C、a_n= $\frac{2}{n + 2}$ D、a_n= $\frac{3}{n}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，三边长 $A B = 7 ， B C = 5 ， A C = 6$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ 等于（）

A、19 B、-19 C、18 D、-18

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3} = 1 ， S_{6} = 9$ ，则 $S_{9}$ 等于（）

A、81 B、17 C、24 D、73

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7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是(　　)

A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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8. 黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 $36 °$ 的等腰三角形（另一种是顶角为 $108 °$ 的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形 $A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，根据这些信息，可得 $\sin 234 ° =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 \sqrt{5}}{4}$ B、 $- \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ C、 $- \frac{3 + \sqrt{5}}{8}$ D、 $- \frac{4 + \sqrt{5}}{8}$

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9. 等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n}{3 n + 1}$ ，则 $\frac{a_{n}}{b_{n}} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 n + 1}{3 n + 1}$ C、 $\frac{2 n - 1}{3 n - 1}$ D、 $\frac{2 n - 1}{3 n + 4}$

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10. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若存在实数 $M > 0$ ，使得对任意的 $n \in N *$ ，都有 $| S_{n} | < M$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“和有界数列”. 下列命题正确的是

A、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，且首项 $a_{1} = 0$ ，则 ${a_{n}}$ 是“和有界数列” B、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，且公差 $d = 0$ ，则 ${a_{n}}$ 是“和有界数列” C、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且公比 $| q | < 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是“和有界数列” D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 ${a_{n}}$ 是“和有界数列”，则 ${a_{n}}$ 的公比 $| q | < 1$

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11. 某人从2009年1月1日起，每年1月1日到银行存入 $a$ 元(一年定期).若年利率 $r$ 保持不变，且每年到期后存款均转为新一年定期，到2015年1月1日将所有存款和利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为（）

A、 $a {(1 + r)}^{7}$ B、 $\frac{a}{r} [{(1 + r)}^{7} - (1 + r)]$ C、 $a {(1 + r)}^{8}$ D、 $a {(1 + r)}^{8} - (1 + r)$

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12. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $B = C = 120 ° ， A B = 4 ， B C = C D = 2 ，$ 则四边形 $A B C D$ 的面积等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $7 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+1，则数列{a_n}的通项公式为a_n= ．

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14. 钝角三角形的三边为 $a, a + 1, a + 2$ ，其最大角不超过120°，则 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 ， a_{1} = 1$ ，则 $a_{n} =$ ．

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16. 如图在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ C = \frac{π}{2}$ ，点 $O$ 是 $△ A B C$ 外一点， $O A = 4$ ， $O B = 2$ 则平面四边形 $O A C B$ 面积的最大值是．

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三、解答题

17. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 13$ ， $d = - 4$ ，记 $T_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} |$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = b \tan A$ ，且 $B$ 为钝角.

(1)、证明： $B - A = \frac{π}{2}$ ；

(2)、求 $\sin A + \sin C$ 的取值范围.

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19. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 4 a_{n} - 3 n + 1 ， n \in N .$

(1)、求证：数列 ${a_{n} - n}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $C = 2 A ， a + c = 10 ， \cos A = \frac{3}{4}$ ，
求：

(1)、 $\frac{c}{a}$ 的值；

(2)、b的值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2^{n} - 1 (n \in N ， n \geq 2) ， a_{4} = 81$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的前三项 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ ；

(2)、若数列 ${\frac{a_{n} + p}{2^{n}}}$ 为等差数列，求实数 $p$ 的值；

(3)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

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22. 已知在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a \cos B = 2 c - b$ .

(1)、若 $\cos (A + C) = - \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $\cos C$ 的值.

(2)、若 $O$ 是 $△ A B C$ 外接圆的圆心，且 $\frac{\cos B}{\sin C} \vec{A B} + \frac{\cos C}{\sin B} \vec{A C} = m \vec{A O}$ ，求 $m$ 的值.

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