广西河池市八校2021-2022学年高二上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-11-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} = 4 ， x \geq 0} ， B = {(s ， t) | s = t - 1}$ ，则集合 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知 $m ， n ， c$ 为三条不同的直线， $α ， β ， γ$ 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α ， n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α ， n \subset β$ 且 $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、 $α / / β$ ， $m / / β$ ，则 $m / / α$ D、若 $α \cap β = m ， β \cap γ = n ， γ \cap α = c$ 且 $m / / n$ ，则 $m / / c$

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3. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 13 = 0$ 被直线 $y = m x - 1$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 用1，2，3三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为奇数的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 6)$ ， $\vec{b} = (m ， 8)$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、1 C、-2 D、4

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6. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（）

A、 $x = - \frac{π}{16}$ B、 $x = \frac{π}{12}$ C、 $x = - \frac{π}{12}$ D、 $x = π$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 对应的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $\sqrt{3} b \sin A = a \cos B$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} + a_{6} = 10$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、38 B、50 C、36 D、45

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9. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a + b = 4 ， c = \sqrt{7}$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2 ， a_{5} = - 16$ ，则公比 $q =$ （）

A、2 B、-2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知 $△ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{2} ， b = \sqrt{3} ， B = \frac{π}{6}$ ，那么满足条件的 $△ A B C$ （）

A、有两个解 B、有一个解 C、无解 D、不确定

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12. 下列结论正确的是（）

A、对于实数 $a ， b$ ，一定存在实数 $c$ 使 $c$ 为 $a ， b$ 的等差中项 B、对于实数 $a ， b$ ，一定存在实数 $c$ 使 $c$ 为 $a ， b$ 的等比中项 C、若等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ D、若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 是关于 $n$ 的一元二次函数，则 ${a_{n}}$ 是等差数列

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二、填空题

13. 数列 ${a_{n}}$ 的前五项是 $1 ， 2 ， \sqrt{7} ， \sqrt{10} ， \sqrt{13}$ ，则 ${a_{n}}$ 的一个通项公式为．

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14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项，若 $a_{1} = 2$ 且 $3 S_{1} 、 2 S_{2} 、 S_{3}$ 成等差数列，则 $S_{10}$ ．

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15. 如图 $△ A B C$ 中，已知点 $D$ 在 $B C$ 边上， $∠ D A C = \frac{π}{2} ，$ $\cos ∠ B A C = - \frac{\sqrt{15}}{8} ，$ $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，则 $C D =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} - a_{n} = 1 + {(- 1)}^{n}$ 且 $a_{1} = 2 ， a_{2} = 3$ ，则 $S_{20} =$ ．

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三、解答题

17. 某企业质管部门，对某条生产线上生产的产品随机抽取100件进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），下图是这100件产品的综合评分的频率分布直方图．若将综合评分大于等于80分以上的产品视为优等品．

(1)、求这100件产品中优等品的件数；

(2)、求这100件产品的综合评分的中位数．

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18. 如图，从山顶 $A$ 到山脚 $C$ 有两条线路供游人选择，一条从 $A$ 沿直线路径步行到达 $C$ ，另一条从 $A$ 乘缆车到达 $B$ 后，然后沿直线路径 $B C$ 步行到 $C$ ，已知 $A B = 1040$ 米，经测量得 $\cos C = \frac{3}{5} ， \sin A = \frac{5}{13}$ （且 $A$ 为锐角）．

(1)、求路径 $A C$ 的长；

(2)、甲从 $A$ 以 $50$ m/min的速度沿 $A C$ 步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向 $B$ ，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小．

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19. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，已知 $a_{1} = - 16 ， a_{3} + a_{5} = - 20$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = | a_{n} | (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、设 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \geq 0 \\ a x + b ， x < 0 \end{array}$ ，若 $g (x)$ 为 $R$ 上的单调函数，求实数 $a ， b$ 的取值范围．

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 对应的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 a \cos B + 2 b \cos A = a c$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $A = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 2^{n + 1} + A$ ，若 ${a_{n}}$ 为等比数列．

(1)、求实数 $A$ 及 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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