福建省2021-2022学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-11-24 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 向量 $\vec{a} = (4 ， 2) ， \vec{b} = (6 ， y)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $y =$ （）

A、3 B、-3 C、12 D、-12

查看试题解析
2. 设 $α$ 为平面， $a$ ， $b$ 为两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A、若 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a / / b$ B、若 $a ⊥ α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $b / / α$ C、若 $a ⊥ α$ ， $a / / b$ ，则 $b ⊥ α$ D、若 $a / / b$ ，且 $a / / α$ ，则 $b / / α$

查看试题解析
3. 经过点 $P_{1} (3 ， - 2) ， P_{2} (5 ， - 4)$ 的直线方程是（）

A、 $x - y - 5 = 0$ B、 $x - y - 1 = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

查看试题解析
4. 已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间向量的一个基底，则下列向量中能与 $\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b}$ 构成基底的是（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $\vec{c}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$

查看试题解析
5. 已知空间向量 $\vec{m} = (- 1 ， x ， 2) ， \vec{n} = (1 ， 3 ， y) (x > 0 ， y > 0)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $x y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{24}$

查看试题解析
6. 设 $m \in R$ ，则“ $m = - 1$ ”是“直线 $m x + 2 y + 4 = 0$ 与直线 $x + (m - 1) y + 2 = 0$ 平行”的（）

A、充分必要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

查看试题解析
7. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $A A_{1} = A B$ ，则 $A_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

查看试题解析
8. 已知 $m \in R$ ，若过定点A的动直线 $l_{1} ： x - m y + m - 2 = 0$ 和过定点B的动直线 $l_{2} ： y - 4 = - m (x + 2)$ 交于点P（P与A，B不重合），则 $2 | P A | + | P B |$ 的最大值为（）

A、 $5 \sqrt{6}$ B、 $5 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、5

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 $x + y = a (a \in R)$ 表示 B、方程 $m x + y - 2 = 0 (m \in R)$ 表示的直线斜率一定存在 C、经过点 $P (1 ， 2)$ ，倾斜角为 $α$ 的直线方程为 $y - 2 = \tan α (x - 1)$ D、经过两点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 的直线方程为 $y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})$

查看试题解析
10. 直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$ ，两个平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}}$ ， $\vec{n_{2}}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $\vec{u} ⊥ \vec{n_{1}}$ ，则直线 $l / /$ 平面 $α$ B、若 $\vec{u} ⊥ \vec{n_{1}}$ ，则直线 $l ⊥$ 平面 $α$ C、若 $\cos < \vec{u} ， \vec{n_{1}} > = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ D、若 $\cos < \vec{n_{1}} ， \vec{n_{2}} > = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则平面 $α$ ， $β$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$

查看试题解析
11. 在 $△ A B C$ 中，有如下命题，其中正确的有（）

A、若 $b^{2} = a c ， B = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形 B、若 $\sin^{2} 2 A = \sin^{2} 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $\cos^{2} A + \sin^{2} B + \sin^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $a = 4 ， b = 2 ， B = 25 °$ ，则这样的 $△ A B C$ 有2个

查看试题解析
12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知E为线段 $B_{1} C$ 的中点，点F和点P分别在线段 $D_{1} C_{1}$ 和 $D_{1} B$ 上，则下列说法正确的是（）

A、当点P是 $D_{1} B$ 的中点时， $P E ∥$ 平面 $A B C D$ B、若点P是 $D_{1} B$ 与平面 $A E C$ 的交点，则 $P B = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $A P$ 与面 $B D D_{1} B_{1}$ 所成角的范围是 $[45 ° ， 60 °]$ D、当F是 $D_{1} C_{1}$ 的中点时，三棱锥 $P - E F D$ 的体积是定值

查看试题解析

三、填空题

13. 已知空间向量 $\vec{m} = (1 ， 2 ， 3)$ ，空间向量 $\vec{n}$ 满足 $\vec{m} / / \vec{n}$ 且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 7$ ，则 $\vec{n} =$ .

查看试题解析
14. 若直线经过点 $A (1 ， 1)$ 且在两坐标轴上的截距和为4，则该直线的方程为.

查看试题解析
15. 已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = A D = 2$ ，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是.

查看试题解析
16. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各棱长均相等， $∠ B A D = ∠ D A A_{1} = ∠ A_{1} A B = 60 ° ， A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 交于点E ，则 $∠ D E D_{1}$ 的余弦值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知空间中三点 $A (0 ， - 1 ， 2) ， B (1 ， 1 ， 3) ， C (- 2 ， 1 ， 0)$

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若点 $D (x ， 3 ， 4)$ 在 $A ， B ， C$ 三点确定的平面内，求x的值.

查看试题解析
18. 图1：平行四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B C ， A C = B C = 1$ ，现将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 折起，得到三棱锥 $D - A B C$ （如图2），且 $D A ⊥ B C$ ，点M为侧棱 $D C$ 的中点.

(1)、求证： $A M ⊥ B D$

(2)、N为 $∠ A C B$ 的角平分线上一点，若 $D N //$ 平面 $A B M$ ，求线段 $D N$ 的长.

查看试题解析
19. 已知直线l过点 $P (4 ， 3)$ ，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.

(1)、求 $△ O A B$ 面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；

(2)、求 $| P A | \cdot | P B |$ 的最小值及取得最小值时l的直线方程.

查看试题解析
20. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且 $2 c - \sqrt{2} b = 2 a \cos B ， a = 2$ ·

(1)、若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

(2)、若 $B \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ ，求 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为2，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影O是 $A C$ 的中点.

(1)、求点 $A$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离；

(2)、求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值.

查看试题解析
22. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 $A B C D$ 内举行机器人拦截挑战赛，在E处按 $\vec{E P}$ 方向释放机器人甲，同时在A处按 $\vec{A Q}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域 $A B C D$ 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知 $A B = 6$ 米，E为 $A B$ 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\vec{E P}$ 与 $\vec{E B}$ 的夹角为 $θ (0 < θ < π)$ ， $\vec{A Q}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角为 $α (0 < α < \frac{π}{2})$

(1)、若两机器人运动方向的夹角为 $\frac{π}{3} ， A D$ 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

(2)、已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍
（i）若 $α = θ = \frac{π}{3} ， A D$ 足够长，求机器人乙能否挑战成功.

（ii）如何设计矩形区域 $A B C D$ 的宽 $A D$ 的长度，才能确保无论 $θ$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $α$ 使机器人乙挑战成功？

查看试题解析