安徽省示范高中2021-2022学年高二上学期数学秋季联赛试卷

试卷更新日期：2021-11-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2 k - 1 \leq x \leq 2 k ， k \in N}$ ， $B = {x | \frac{2}{x} > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 0}$ B、 ${x | 0 < x \leq 1}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 已知复数z满足 $(i - 2) z = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- \frac{5}{3} - \frac{10}{3} i$ D、 $\frac{5}{3} + \frac{10}{3} i$

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3. 新高考选课“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门科目为必考，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、政治、地理四门科目选择两门.已知甲同学选择物理的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙同学选择历史的概率为 $\frac{1}{3}$ ，二人的选择相互之间没有影响，那么甲、乙两名同学至少有1人选择物理的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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4. 设 $a > b > 0$ ，则“ $c < a$ ”是“ $\frac{b}{a} < \frac{b - c}{a - c}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知角 $α - \frac{π}{2}$ 的终边过点 $P (1 ， \sqrt{2})$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-1 D、1

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} + 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ x^{3} - 1 ， x < 0 \end{matrix}$ ，则不等式 $f (2 - x^{2}) + f (- x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- 2 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 2] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， + \infty)$

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7. 已知正实数a ， b ， c满足 $4^{\frac{a}{2}} = 3 \cdot 2^{b - 1}$ ， $\log_{3} c = c \cdot \log_{2} (b + 1)$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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8. 已知关于x的方程 $\sqrt{x} = a x + 1$ 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{4})$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(0 ， \frac{1}{4})$

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二、多选题

9. 已知样本甲：a ， b ， c ， d ， e ，样本乙： $2 a + 1$ ， $2 b + 1$ ， $2 c + 1$ ， $2 d + 1$ ， $2 e + 1$ ，其中a ， b ， c ， d ， e为正实数，则下列叙述中一定正确的是（）

A、样本乙的极差大于样本甲的极差 B、样本乙的众数均大于样本甲的众数 C、若c为样本甲的中位数，则 $2 c + 1$ 为样本乙的中位数 D、若c为样本甲的平均数，则 $2 c + 1$ 为样本乙的平均数

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的减函数，实数a ， b ， $c (a < b < c)$ 满足 $f (a) f (b) f (c) < 0$ ，若 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点，则下列结论中可能成立的是（）

A、 $x_{0} < a$ B、 $a < x_{0} < b$ C、 $b < x_{0} < c$ D、 $x_{0} > c$

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{12} + x) = f (\frac{π}{12} - x)$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递增 D、 $f (x - \frac{π}{6})$ 为奇函数

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12. 矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B = 2 \sqrt{2}$ ，E ， F分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起，A折起后记为P ，将 $△ C D F$ 沿 $D F$ 折起，C折起后记为Q ，得到如图几何体 $P Q - B E D F$ ，在折起过程中，下列结论中正确的是（）

A、存在点P ， Q ，使得 $Q E //$ 平面 $P B F$ B、存在点P ， Q ，使得 $P F ⊥ Q E$ C、三棱锥 $P - B E F$ 体积的最大值为 $\frac{1}{3}$ D、P ， Q两点间的最短距离为1

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 1 - f (1) \cdot \log_{2} (x + 1)$ ，则 $f (- \frac{1}{2}) =$ .

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14. 如图，在等腰直角三角形 $O A B$ 中， $| O A | = | O B | = 1$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{C B}$ ，过点C作直线l垂直于 $A B$ ，D为直线l上任一点，则 $\vec{O D} \cdot \vec{A B} =$ .

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15. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ，E为棱 $A B$ 的中点，F为线段 $B B_{1}$ 上一点，且 $A_{1} C ⊥ E F$ ，则 $\frac{B_{1} F}{F B} =$ .

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16. 已知点P为直线 $x = 4$ 上任意一点，过点P作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为A ， B ，则直线 $A B$ 恒过的定点的坐标为.

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17. 已知正实数x ， y满足 $x^{2} + y^{2} = x - y$ ，则使得 $k y - 1 \leq 0$ 恒成立的实数k的最大值为.

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四、解答题

18. 已知向量 $\vec{a} = (2 \sin x ， \sin x + \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x ， \sin x - \cos x)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、若 $f (\frac{a}{2}) = \frac{3}{2}$ ， $0 < α < \frac{π}{2}$ ，求 $\sin α$ .

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19. 教育部《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的，要逐步退出.为了了解学生对校内开设小卖部的意见，某校对65名住校生30天内在小卖部消费过的天数进行了统计，情况如下：

天数	$[5 ， 10)$	$[10 ， 15)$	$[15 ， 20)$	$[20 ， 25)$	$[25 ， 30]$
人数	4	7	18	9	27

(1)、用分层抽样的方法在消费天数不低于15天的住校生中选择6人进行意见调查，分别求其中消费天数在区间

[15 ， 20)

，

[20 ， 25)

，

[25 ， 30]

内的人数；

(2)、从（1）中选择的6人中任意抽取2人对取消校内小卖部给出具体意见，求这2人消费天数均在

[25 ， 30]

内的概率.

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20. 如图所示，几何体 $E F - A B C D$ 中，平面 $E A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ E A B$ 为正三角形，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $D F // A E$ ，且 $A E = 2 D F = 2$ .

(1)、证明： $B D //$ 平面 $C E F$ ；

(2)、求四棱锥 $F - A B C D$ 的体积.

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21. $△ A B C$ 中，a ， b ， c分别为角A ， B ， C所对的边，且 $2 c \sin C = (2 a + b) \sin A + (a + 2 b) \sin B$ ， $2 \sin (A - B) = 3 \cos A \sin B$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、求 $\frac{a}{b}$ 的值.

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22. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 1$ ， $△ B C D$ 是边长为 $\sqrt{6}$ 的正三角形，且 $A C ⊥ B D$ ， $∠ B A D = 120 °$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成的锐二面角的大小.

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23. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $E ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 内切.

(1)、求圆O的方程；

(2)、过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦记为 $A B$ 和 $C D$ ，若 $| A B | = λ | C D |$ ，求实数 $λ$ 的最大值.

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24. 已知函数 $f (x) = x | x - 2 a | + 2 x (a \in [- 1 ， 2])$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $a \in [- 1 ， 2]$ 使得方程 $f (x) = a^{2} t$ 有三个不同的实数根，求实数t的取值范围.

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