上海市黄浦区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-11-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $△ A B C$ ，AB＝m ， ∠ACB＝90°，则下列各式中，正确的是（）

A、 $B C = m \cdot \tan A$ B、 $B C = m \cdot \cot A$ C、 $B C = m \cdot \cos A$ D、 $B C = m \cdot \sin A$

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2. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）

A、 $\frac{AE}{AC}$ ＝ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{DE}{BC}$ ＝ $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{AE}{AC}$ ＝ $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{DE}{BC}$ ＝ $\frac{1}{2}$

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3. 下列判断中，错误的有（　　）

A、三边对应成比例的两个三角形相似 B、两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似 C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似

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4. 如图，在△ABC中，sinB= $\frac{1}{3}$ ， tanC=2，AB=3，则AC的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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5. 下列命题错误的是（）

A、零向量与任何一个向量都是平行向量 B、如果 $\vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}$ （ $\vec{b}$ 为非零向量），那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、如果 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，那么 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ D、如果非零向量 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，那么一定存在唯一的实数m ，使 $\vec{b} = m \vec{a}$

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6. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）

A、0＜CP≤1 B、0＜CP≤2 C、1≤CP＜8 D、2≤CP＜8

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二、填空题

7. 已知实数x、y满足 $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{x + y}{y} =$ ．

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8. 已知线段a=2cm、b=8cm，那么线段a、b的比例中项等于cm..

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9. 地图上的比例尺为1：100000，A、B两地的实际距离是30千米，则图上AB两地的距离是厘米．

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10. 如果点P把线段AB分割成AP和PB两段 $(A P > P B)$ ，中AP是AB与PB的比例中项，若线段AP长为4cm，那么线段AB的长为．

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11. 如图，直线 $l_{1}$ ∥ $l_{2}$ ∥ $l_{3}$ ，AB=4， BC=3，DF=14，那么DE=；

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12. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，D在边AB上， $∠ A D C = ∠ A C B$ ，那么BD＝．

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13. 等腰直角三角形的腰长为 $\sqrt{2}$ ，该三角形的重心到斜边的距离为．

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14. 如图，△ABC中，DE∥BC ， DE分别交边AB、AC于D、E两点，若△ADE与四边形BDEC的面积比是9：16，则△ADE与△ABC的周长比是．

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15. 如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A E} = \vec{b}$ ，如果用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{A G}$ ，那么 $\vec{A G} =$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上， $A H ⊥ B C$ 交DE于M，DG：DE=1：2，BC=12cm，AH=8cm，则DE=

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17. 如图所示， $A B // C D$ ，AC、BD相交于点E ，若 $△ C D E$ 面积为3， $△ B C E$ 的面积为5，则梯形的面积为．

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18. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC ， AB＝DC ， ∠DBC＝45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果 $\frac{A D}{B C} = \frac{1}{4}$ ，那么 $\frac{A F}{B F}$ 的值是．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{2 \sin^{2} 60^{°} - \cos 60^{°}}{\tan^{2} 60^{°} - 4 \cos 45^{°}}$

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20. 如图，梯形 ABCD 中，AB//CD，且 $\frac{A B}{C D} = \frac{4}{3}$ ，点 E 是 CD 的中点，AC 与 BE 交于点 F，若 $\overset{⇀}{A B} = \vec{m} ， \overset{⇀}{A D} = \vec{n} .$

(1)、请用 $\vec{m} ， \vec{n}$ 来表示 $\vec{A F}$ ；

(2)、请在图中画出 $\vec{E B}$ 在 $\vec{m} ， \vec{n}$ 方向上的分向量.（不要求写出作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

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21. 如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF.

(1)、求证：△CAE∽△CBF；

(2)、若BE＝1，AE＝2，求CE的长．

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22. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∠B＝45°，tan∠ACB＝3，AC＝ $\sqrt{10}$ .
求：

(1)、△ABC的面积；

(2)、sin∠ACD的值．

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23. 梯形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ，对角线 $AC ⊥ BC$ ，点E是 $BC$ 边上一个点， $∠ B = ∠ AEF ， EF$ 交 $AC$ 于点P，交 $DC$ 于点 $F ， AF$ 交 $BC$ 延长线于点G，且 $∠ BAE = ∠ CAF$

(1)、求证： $EF ⊥ AG$

(2)、求证： $AG \cdot AF = AD \cdot EG$

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24. 直线 $y = - \frac{1}{3} x + 1$ 分别交x轴、y轴于A、B两点．

(1)、求出点A、B的坐标；

(2)、已知点G的坐标为（2，7），过点G和B作直线BG ，连接AG ，求∠AGB的正切值；

(3)、在（2）的条件下，在直线BG上是否存在点Q ，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝ $\frac{3}{4}$ ，点D为BC边上的动点（D不与点B，C重合）.以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.

(1)、求证：△ABD∽△DCE；

(2)、当DE∥AB时（如图2），求AE的长；

(3)、点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由.

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