上海市宝山区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-11-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各组中的四条线段成比例的是（）

A、1cm，2cm，3cm，4cm B、2cm，3cm，4cm，5cm C、2cm，3cm，4cm，6cm D、3cm，4cm，6cm，9cm

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2. 下列命题中正确的是（）

A、任意两个等腰三角形都相似 B、任意两个直角三角形都相似 C、任意两个菱形都相似 D、任意两个正方形都相似

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3. 已知| $\vec{a}$ |＝3，| $\vec{b}$ |＝4，且 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 方向相反，如果用向量 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{a}$ ，那么结果是（）

A、 $\vec{a}$ ＝ $\frac{3}{4}$ $\vec{b}$ B、 $\vec{a}$ ＝﹣ $\frac{3}{4}$ $\vec{b}$ C、 $\vec{a}$ ＝ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$ D、 $\vec{a}$ ＝﹣ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$

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4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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5. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC ，如果△ABC被DE分割成两个面积相等的图形，那么下列结论中，正确的是（）

A、AD：DB＝ $\sqrt{2}$ ：1 B、DE：BC＝1： $\sqrt{2}$ C、AE：AC＝1：2 D、CE：AC＝1： $\sqrt{2}$

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6. 如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. 已知x：y＝3：2，那么 $\frac{2 x - y}{x + 2 y}$ 的值是．

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8. 实际距离是100千米的A、B两地在地图上的距离是4厘米，那么实际距离是40千米的甲、乙两地在这幅地图上的距离是厘米．

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9. 已知线段a=9cm、b=4cm，那么线段a、b的比例中项c=cm．

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10. 设点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AB＝4cm，那么线段BP的长是cm．

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11. 已知△ABC∽△DEF ，它们的周长分别为20和15，且DE＝6，那么DE的对应边AB的长是．

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12. 化简： $- (\vec{a} - 2 \vec{b}) + 3 (2 \vec{a} - \vec{b})$ ＝．

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13. 已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA＝ $\frac{3}{5}$ ，那么AB的长是．

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14. 如果一个直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为2cm和8cm，那么这个直角三角形较短的一条直角边的长是cm．

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝ $\sqrt{5}$ ，tanα＝2，那么点A的坐标是．

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16. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC＝6，正方形DEFG的面积为9，那么△ABC的面积为．

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17. 如图，已知△ABC的中线AD、CE相交于点G ，过点E作EF∥BC交AD于点F ，那么 $\frac{G F}{A F}$ 的值为．

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18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD ．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC ．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{\sin 30^{°}}{1 - \cos 30^{°}}$ ﹣|2cos45°﹣ $\sqrt{3}$ |＋3cot60°．

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20. 如图，已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 及 $\vec{x}$ 满足2（3 $\vec{b}$ ＋ $\vec{x}$ ）﹣ $\vec{a}$ ＝0

(1)、用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{x}$ ＝．

(2)、求作向量 $\vec{x}$ （不要求写作法，但要说明表示结论的向量）．

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21. 如图，已知直线l₁、l₂、l₃分别截直线l₄于点A、B、C ，截直线l₅于点D、E、F ，且 $l_{1} // l_{2} // l_{3}$

(1)、如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；

(2)、如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．

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22. 如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF ．

(1)、求证：△AEF∽△ABC；

(2)、如果sinA＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\frac{S_{Δ A E F}}{S_{Δ A B C}}$ 的值．

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23. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB ，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．

(1)、求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？

(2)、小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？

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24. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF＝∠B ，射线PF与边AC交于点F ，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q ．

(1)、如果BP＝3，求CF的长；

(2)、当△AFQ是等腰三角形时，求BP的长．

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25. 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线．

(1)、求证： $\frac{A B}{A C}$ ＝ $\frac{B D}{C D}$ ；

(2)、如图，过点C作射线，与AD交于点M ，与边AB交于点E ，又知BD＝9，CD＝6
①如果 $\frac{A M}{A D}$ ＝ $\frac{2}{3}$ ，求CE的长；

②设 $\frac{A M}{A D}$ ＝x ， $\frac{A E}{A B}$ ＝y ，求y关于x的函数关系式．

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