山东省青岛市李沧区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-11-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 方程（x﹣1）（x+2）＝0的两根分别为（）

A、x₁＝﹣1，x₂＝2 B、x₁＝1，x₂＝2 C、x₁＝﹣1，x₂＝﹣2 D、x₁＝1，x₂＝﹣2

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2. 下列命题是真命题的是（）

A、四个角都相等的四边形是菱形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D、顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形

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3. 根据下表：

x	－3	－2	－1	…	4	5	6
x²－bx－5	13	5	－1	…	－1	5	13

确定方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是（）

A、－2＜x＜－1或4＜x＜5 B、－2＜x＜－1或5＜x＜6 C、－3＜x＜－2或5＜x＜6 D、－3＜x＜－2或4＜x＜5

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4. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：

每批粒数n	100	300	400	600	1000	2000	3000
发芽的粒数m	96	282	382	570	948	1912	2850
发芽的频率	0.960	0.940	0.955	0.950	0.948	0.956	0.950

则绿豆发芽的概率估计值（精确到0.01）是（）

A、0.96 B、0.95 C、0.94 D、0.90

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5. 2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $12.95 {(1 + x)}^{2} = 14.11$ B、 $12.95 {(1 - x)}^{2} = 14.11$ C、 $12.95 {(1 + 2 x)}^{2} = 14.11$ D、 $12.95 (1 + 2 x) = 14.11$

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6. 如图，已知在△ABC中，点D ， E ， F分别是边AB ， AC ， BC上的点，DE//BC ， EF//AB ，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）

A、3：8 B、5：8 C、3：5 D、2：5

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7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）

A、75° B、60° C、55° D、45°

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8. 如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC ，延长BP ， CP分别交AD于点E ， F ，连接BD、DP、BD与CF相交于点H ，给出下列结论：
①AE＝ $\frac{1}{2}$ CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED²＝EP•EB；其中正确的是（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 若 $\frac{a}{b}$ ＝ $\frac{3}{4}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ ＝.

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10. 若关于x的方程2x²﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为．

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11. 儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是个．

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12. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O ， ∠AOD=60°，AB=2 $\sqrt{3}$ ，AE⊥BD 于点E ，则OE长．

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13. 如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB ，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝m．

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14. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式x²+4x+5的最小值？解答过程如下：

解：x²+4x+5＝x²+4x+4+1＝（x+2）²+1．

∵（x+2）²≥0，

∴当x＝－2时，（x+2）²的值最小，最小值是0，

∴（x+2）²+1≥1，

∴当（x+2）²＝0时，（x+2）²+1的值最小，最小值是1，

∴x²+4x+5的最小值为1．

根据上述方法，可求代数式－x²－6x＋12有最（填“大”或“小”）值，为．

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三、解答题

15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
现有一个四边形木块，且∠A为直角，现要利用这块木块截一个正方形ABCD ，使其对角线长等于已知线段a ．请在图中作出这个正方形．

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16.

(1)、解一元二次方程：x²﹣2x﹣2＝0（配方法）

(2)、3x²+5（2x+1）＝0．

(3)、若关于x的一元二次方程x²＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？

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17. 电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜．

(1)、用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；

(2)、你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由．

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18. 如图，在 $▱$ ABCD中，点E ， F分别是AD ， BC的中点，EF⊥AC于点O ．
求证：四边形AFCE是菱形．

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19. 如图，某小区居委会打算把一块长20m ，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m² ．请计算花砖路面的宽度．

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20. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD ， BD是∠ABC的角平分线，BD交AC与点E ，求AE的长．

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，O是 $B C$ 边的中点，连接 $A O$ 并延长，交 $D C$ 的延长线于点E，且 $∠ E A C = ∠ D A C$ ．

(1)、求证： $O A = O E$ ；

(2)、连接 $B E$ ，判断四边形 $A B E C$ 是什么特殊四边形？证明你的结论．

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22. 2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱．某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：

(1)、当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元．

(2)、商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？

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23. （问题提出）用n个圆最多能把平面分成几个区域？
（问题探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．

探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．

探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？

如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．

探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？

如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成 $2 \times 2 = 4$ 部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．

(1)、用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．

(2)、（一般结论）用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前 $(n - 1)$ 个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成部分，从而增加个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成个区域．（将结果进行化简）

(3)、（结论应用）
①用10个圆最多能把平面分成个区域；

②用个圆最多能把平面分成422个区域．

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24. 在菱形ABCD中，对线AC ， BD交于点O ，且AC=16cm ， BD=12cm；点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s；若P ， Q两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点Q作EF⊥BD ，交AD于点E ，交CD于点F ，设运动时间为t（s）．解答下列问题：

(1)、求菱形的边长，并用含t的代数式表示DE的长度；

(2)、当t为何值时，线段PE∥AB?

(3)、设四边形CFEP的面积为S（cm²），求S关于t的函数关系式；

(4)、是否存在某一时刻t ，使得以B ， P ， Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

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