广东省茂名高州市十校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（A卷）

试卷更新日期：2021-11-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 关于x的一元二次方程 $x^{2} = 1$ 的根是（）

A、 $x = 1$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x = - 1$ D、 $x_{1} = x_{2} = 1$

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2. 已知 $2 x = 3 y$ （ $x y \neq 0$ ），则下列比例式成立的是（）

A、 $\frac{x}{2} = \frac{3}{y}$ B、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ C、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$

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3. 已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）

A、AB²＝AC²+BC² B、BC²＝AC•BA C、 $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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4. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（　　）

A、18 B、20 C、21 D、24

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5. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ，以点A为圆心， $A B$ 为半径画弧与 $A D$ 交于点F，然后以大于 $\frac{1}{2} B F$ 为半径，分别以B，F为圆心画弧交于点G，连接 $A G$ 交 $B C$ 于点E，若 $B F = 6$ ， $A B = 4$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、5 D、10

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E、F在BC的延长线上，连接AE、DF， $A E / / D F$ ，则下列式子错误的是（）

A、 $\frac{C E}{A D} = \frac{C G}{G D}$ B、 $\frac{E G}{D F} = \frac{C G}{A B}$ C、 $\frac{E G}{D F} = \frac{C E}{B E}$ D、 $\frac{C E}{C B} = \frac{E G}{D F}$

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7. 对于两个实数a，b，用 $max (a ， b)$ 表示其中较大的数，则方程 $x \times max (x ， - x) = 2 x + 1$ 的解是（）

A、 $1$ ， $1 + \sqrt{2}$ B、 $1$ ， $1 - \sqrt{2}$ C、 $- 1$ ， $1 + \sqrt{2}$ D、 $- 1$ ， $1 - \sqrt{2}$

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8. 等边三角形OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 $Δ O A B$ 边长为6，且 $Δ O A B$ 与△ $O A^{'} B^{'}$ 关于点O成位似图形，且位似比为 $1 ： 2$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标可能是（）

A、 $(- 6$ ， $6 \sqrt{3})$ B、 $(6$ ， $6 \sqrt{3})$ C、 $(- 3 ， - 3 \sqrt{3})$ D、 $(6 ， - 6 \sqrt{3})$

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9. 已知关于x的一元二次方程ax²+2x﹣12＝0的两根分别为x₁ ， x₂ ，而x²+2ax﹣12＝0的两根分别为x₁ ， x₃ ，其中x₁≠x₂≠x₃ ，则a的值是（）

A、﹣1 B、1 C、﹣2 D、2

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10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E、F、G、H分别为矩形边上的点，HF过矩形的中心O ．且HF＝AD ， E为AB的中点，G为CD的中点，则四边形EFGH的周长为（　　）

A、12 $\sqrt{5}$ B、6 $\sqrt{5}$ C、8 $\sqrt{3}$ D、6 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 李老师在墙上挂了一幅如图所示的图案，假设可以在图中随意钉钉子，那么这个钉子钉在阴影部分（边界忽略不计）的概率是．

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12. 如图，路灯距地面 $8 m$ ，身高 $1.6 m$ 的小明从点A处沿 $A O$ 所在的直线行走 $14 m$ 到点B时，人影长度变短．

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13. 若k＝ $\frac{a - 2 b}{c}$ ＝ $\frac{b - 2 c}{a}$ ＝ $\frac{c - 2 a}{b}$ ，且a＋b＋c≠0，则k＝.

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14. 已知a是方程x²-5x+1=0的一个根，则a⁴+a^-4的个位数字为．

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15. 设 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{a + 2 b}{b} =$ ．

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16. 如图，已知长方形 $A B C D$ 纸片， $A B = 16$ ， $B C = 8$ ，若将纸片沿 $A C$ 折叠，点D落在 $D^{'}$ ，则重叠部分的面积为．

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17. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F ， E分别以相同的速度从D ， C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE ， BF交于点P ，过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN ，在运动过程中则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE＝BF；③AE⊥BF；④线段MN的最小值为 $\sqrt{5}$ ﹣1．其中正确的结论有．（填写正确的序号）

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三、解答题

18. 解方程：

(1)、x²－3x－4＝0(公式法)

(2)、(x－3)²－16＝0

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19. 如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．

(1)、以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出△OB'C′；

(2)、B点的对应点B'的坐标是；C点的对应点C′的坐标是．

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20. 如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．

(1)、求证：四边形AGPH是矩形；

(2)、在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

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21. 我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的不同型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．

(1)、抽查D厂家的零件为件，图2中D厂家对应圆心角的度数为；

(2)、抽查C厂家的合格零件为件，并将图1补充完整；

(3)、若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加国际工业产品博览会，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出A、D两个厂家同时被选中的概率．

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22. 怀远石榴是我省怀远县特产，同时也是国家地理标志产品.具有榴皮薄、粒大、味甘甜，百粒重、可食率、含糖量高等特点.怀远县某村民合作社 $2019$ 年种植怀远石榴 $100$ 亩， $2021$ 年该合作社扩大了怀远石榴的种植面积，共种植 $144$ 亩.

(1)、求该合作社这两年种植怀远石榴亩数的平均增长率.

(2)、假定该合作社种植怀远石榴亩数的平均增长率保持不变，预计 $2022$ 年底，该合作社种植怀远石榴的亩数可否突破 $175$ 亩?

(3)、某水果专卖店销售怀远石榴，市场调查发现，当怀远石榴售价为 $20$ 元/千克时，每天能售出 $200$ 千克，售价每降低 $1$ 元，每天可多售出 $50$ 千克，为了推广宣传，该店决定降价促销，已知怀远石榴的平均成本价为 $12$ 元/千克，若使销售怀远石榴每天获利 $1800$ 元，则售价应降低多少元?

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23.
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．

(1)、求证：△ABM∽△EFA；

(2)、若AB=12，BM=5，求DE的长．

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24. 阅读下面材料，然后解答问题：
解方程： ${(x^{2} - 6)}^{2} - (x^{2} - 6) - 2 = 0$ ．

分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性；解高次方程的基本方法是“降次”，我发现本方程是以 $x^{2} - 6$ 为基本结构搭建的，所以我们可以把 $x^{2} - 6$ 视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程将次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．

解：设 $x^{2} - 6 = m$ ，则原方程换元为 $m^{2} - m - 2 = 0$ ．①

$(m - 2) (m + 1) = 0$ 解得： $m_{1} = 2$ ， $m_{2} = - 1$

∴ $x^{2} - 6 = 2$ 或 $x^{2} - 6 = - 1$ ．

解得 $x_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $x_{2} = - 2 \sqrt{2}$ ， $x_{3} = \sqrt{5}$ ， $x_{4} = - \sqrt{5}$ ．

请参考例题解法，解下列方程：

(1)、 $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$

(2)、 $x^{2} + 3 x - \sqrt{x^{2} + 3 x} - 2 = 0$

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25. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点.过点 $C$ 作射线 $C M$ 交 $A B$ 于点 $P$ （点 $P$ 不与点 $D$ 重合），过点 $B$ 作 $B E ⊥ C M$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ 交 $C M$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $D E = D F$ ；

(2)、如图2，若 $A E = A C$ ，连接 $A F$ 并延长到点 $G$ ，使 $F G = A F$ ，连接 $C G$ ， $E G$ ，求证：四边形 $A C G E$ 为菱形；

(3)、在（2）的条件下，求 $\frac{A P}{B P}$ 的值.

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