浙江省绍兴市越清崧联盟2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | x - π < 0 ， x \in R}$ ，则下面结论正确的是（）

A、 $2 \notin M$ B、 $2 \in M$ C、 $2 \subseteq M$ D、 $M \subseteq {2}$

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 2 x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} + 2 x < 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 2 x < 0$ C、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} + 2 x \geq 0$ D、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 2 x < 0$

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - a x$ ，且 $f (- 1) = 2$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 已知集合A＝{x|-2≤-x+1＜3}，B＝{x|x²-2x-3≤0}，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $f (x)$ 是一次函数，且 $f (x - 1) = 3 x - 5$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 3 x + 2$ B、 $f (x) = 3 x - 2$ C、 $f (x) = 2 x + 3$ D、 $f (x) = 2 x - 3$

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6. “ $x > 1$ "是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 定义在实数 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0]$ 上单调递减，且 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (1 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 1) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 1) \cup (1 ， 2)$

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8. 已知两个正实数 $x ， y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，并且 $x + 2 y \geq m^{2} - 2 m$ 恒成立，则实数m的取值范围（）

A、 $(- 2 ， 4)$ B、 $[- 2 ， 4]$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [4 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知 $a > b > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a - c > b - c$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $a^{b} > 1$

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10. 关于函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 的描述错误的命题是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) < 0$ B、 $\forall x \in [0 ， + \infty)$ ， $f (x) \geq 0$ C、 $\exists x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ D、 $\forall x_{1} \in [0 ， + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ， $f (x_{1}) > f (x_{2})$

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11. 符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[2.1] = 2$ ， $[π] = 3$ ， $[- 1.2] = - 2$ ，定义函数 ${x} = x - [x]$ ，以下结论正确的是（）

A、函数 ${x}$ 的定义域是R，值域为 $[0 ， 1)$ B、方程 ${x} = \frac{1}{2}$ 有无数个解 C、函数 ${x}$ 是奇函数 D、函数 ${x}$ 是增函数.

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则函数 $f (x)$ 满足（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $y = f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上有最小值 $f (m)$ D、 $f (x - 1) + f (x^{2} - 1) > 0$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 1}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 1}$ 的定义域是．

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14. 计算： $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} - {(\frac{3}{5})}^{0} + {(\frac{9}{4})}^{- 0.5} + \sqrt[4]{{(\sqrt{2} - π)}^{4}} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x + 3 a ， x < 0 \\ x^{2} + 2 ， x \geq 0 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则a的取值范围为.

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16. 已知 $0 < a < 1$ ， $0 < b < 1$ ，且 $4 a b - 4 a - 4 b + 3 = 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 2 \leq x \leq 5}$ ，集合 $B = {x | 3 < x \leq 7}$ ，求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $A \cup B$ ；

(3)、 $(∁_{R} B) \cap A$ .

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18. 已知函数 $f (x) = (m - 2) x - \frac{1}{x}$

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $P (1 ， 1)$ ．求实数m的值，并证明函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、若 $m = 2$ ，用单调性的定义证明函数 $y = f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增．

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19. 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放 $k (1 \leq k \leq 4 ， k \in R)$ 个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为 $y = k \cdot f (x)$ ，其中 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{24}{8 - x} - 1 ， (0 \leq x \leq 4) \\ 7 - \frac{x}{2} ， (4 < x \leq 14) \end{array}$ 根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.

(1)、若只投放一次k个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），求k的值：

(2)、若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + a x ， x < 0 \\ - 2 x^{2} + 5 x ， x \geq 0 \end{array}$ 为奇函数.

(1)、求a的值：

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5}{4} ， 2 t + 2]$ 上单调递增，求实数的 $t$ 取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + x + c (a > 0)$ 满足：①函数 $f (x - \frac{1}{4})$ 是偶函数；②关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(m ， 1) (m < 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) + (4 k + 3) x (k \in R)$ 在 $[1 ， 3]$ 上的最小值 $h (k)$ .

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22. 已知函数 $y = x + \frac{k}{x} (k > 0)$ 在区间 $(0 ， \sqrt{k})$ 单调递减，在区间 $(\sqrt{k} ， + \infty)$ 单调递增．

(1)、求函数 $y = x + \frac{2}{x}$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 的单调性；（只写出结果，不需要证明）

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + 13}{x + 1} (a \in R)$ ，若对于任意的 $x \in N^{*}$ ，有 $f (x) \geq 5$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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