浙江省嘉兴市南湖片区2021-2022学年高一上学期数学期中检测试卷

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{1，3} C、{2，4，5} D、{1，2，3，4，5}

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2. 不等式 $- x^{2} - x + 2 \geq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 2 ， 1]$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [1 ， + \infty)$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \log_{2} x ， x \in (0 ， + \infty) \\ 3^{x} ， x \in (- \infty ， 0] \end{matrix}$ ，则 $f [f (\frac{1}{4})] =$ （）

A、-9 B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、9

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4. 下列函数是奇函数，且在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = x$

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5. 已知函数 $f (x) = k x + b$ ( $k \neq 0$ ， $b$ 为实数)，在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M - m$ 的值（）

A、与 $k$ 有关，且与 $b$ 有关 B、与 $k$ 有关，但与 $b$ 无关 C、与 $k$ 无关，但与 $b$ 有关 D、与 $k$ 无关，且与 $b$ 无关

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6. 已知实数 $a = 2^{\frac{3}{2}}$ ， $b = {(\frac{2}{3})}^{2}$ ， $c = \log_{2} \frac{2}{3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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7. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 x}$ 的值域是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，则下列等式不成立的是（）

A、 ${[g (x)]}^{2} - {[f (x)]}^{2} = 1$ B、 $f (2 x) = 2 f (x) \cdot g (x)$ C、 $f (- x) = - g (x)$ D、 $g (2 x) = {[g (x)]}^{2} + {[f (x)]}^{2}$

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9. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (\log_{4} 9)$ 的值为（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ ，若 $f (x) \geq 0$ 在 $(0 ， 2)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(0 ， 1]$

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二、填空题

11. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 3}$ ，则 $A \cup B =$ ．

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12. 函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ 的递减区间是.

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13. 函数 $f (x) = \ln (x^{2} - 3 x + 2)$ 的定义域是.

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14. 若 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，则函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1$ 的图象过定点.

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15. 幂函数 $y = x^{α}$ 的图象过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $α =$ .

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16. 设奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $x [f (x) - f (- x)] < 0$ 的解集为.

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三、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $\sqrt[3]{{(- 4)}^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{0} + {0.25}^{\frac{1}{2}} \times {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{- 4}$ ；

(2)、 $\log_{3} \sqrt{3} + \log_{4} 8 + \lg 2 + \lg 5$ .

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18. 已知集合 $A = {x | m - 2 < x < m + 1}$ ， $B = {x | 0 < x < 5}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 | x | - 3$ .

(1)、求证：函数 $f (x)$ 是偶函数；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，并由图象直接写出函数 $f (x)$ 的值域.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2}$ .

(1)、求 $f (\frac{1}{2})$ 的值；

(2)、若 $a \in R$ ，求 $f (a) + f (1 - a)$ 的值；

(3)、求 $f (\frac{1}{2018}) + f (\frac{2}{2018}) + \dots + f (\frac{2016}{2018}) + f (\frac{2017}{2018})$ 的值.

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21. 已知实数 $a > 0$ 且满足 $3^{3 a + 2} > 3^{4 a + 1}$ .

(1)、若函数 $f (x) = \log_{a} (2 x - 1)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上的最小值为 $- 1$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、解不等式 $\log_{a} (3 x + 2) < \log_{a} (8 - 5 x)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - k a^{- x}}{k}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）是奇函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ， $g (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} - 2 m f (x)$ ，且 $g (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值为 $1$ ，求实数 $m$ 的值.

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