天津市河北区2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $A = {3 ， 5 ， 6 ， 8}$ ， $B = {4 ， 5 ， 7 ， 8}$ ，则 $A \cap B$ 的结果为（）

A、 ${5}$ B、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ C、 ${8}$ D、 ${5 ， 8}$

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2. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ，集合 $B$ 满足 $A \cup B = {1 ， 2}$ ，则集合 $B$ 的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 函数 $f (x) = x^{2}$ ， $x \in [- 1 ， 2]$ 的奇偶性是（）

A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既是奇函数又是偶函数

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4. 已知 $p$ ： $x = - 1$ ； $q$ ： $| x | = 1$ ，那么 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数f（x）= $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、[1，2）∪（2，+∞） B、（1，+∞） C、[1，2） D、[1，+∞）

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6. 命题“ $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 1 < 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 1 < 0$

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7. 已知幂函数 $y = x^{n}$ 在第一象限内的图象如图所示．若 $n \in {2 ， - 2 ， \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2}}$ 则与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ 对应的n的值依次为（）

A、 $- \frac{1}{2} ， - 2 ， 2 ， \frac{1}{2}$ B、 $2 ， \frac{1}{2} ， - 2 ， - \frac{1}{2}$ C、 $2 ， \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， - 2$ D、 $- \frac{1}{2} ， - 2 ， \frac{1}{2} ， 2$

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8. 已知 $a ， b$ 为正实数，且 $a + 2 b = 3$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{7}{3}$

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9. 如果关于 $x$ 的不等式 $x^{2} < a x + b$ 的解集是 ${x | 1 < x < 3}$ ，那么 $b^{a}$ 等于（）

A、-81 B、81 C、-64 D、64

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10. 不等式 $2 x^{2} - k x - k > 0$ 对于一切实数恒成立，则k的取值范围为（）

A、 $(- 8 ， 0)$ B、 $(0 ， 8)$ C、 $(- \infty ， - 8) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (8 ， + \infty)$

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ ， $x \in [0 ， + \infty)$ 的单调递增区间是；单调递减区间是.

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12. 化简 $(a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}}) (- 3 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}) \div (\frac{1}{3} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}) =$ .

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13. 不等式 $13 x - 4 x^{2} > 0$ 的解集是.

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14. 集合 ${x \in N | x - 3 \leq 1}$ 用列举法表示是.

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15. 下列命题中为真命题的是.（填写序号）
①若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ ；②若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ ；③若 $a > b > 0$ 且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ ；④若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ .则 $a b < 0$

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16. 函数 $f (x) = {\begin{cases} 2^{- x} - 1 ， x \leq 0 \\ x^{\frac{1}{2}} ， x > 0 \end{cases}$ 满足 $f (x) > 1$ 的 $x$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 设集合 $A = {x | x^{2} - 8 x + 15 = 0}$ ， $B = {x | a x - 1 = 0}$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{5}$ ，试判断集合 $A$ 与 $B$ 的关系；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值集合.

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18. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $[1 ， 2]$ 上最大值是最小值的2倍，求实数 $a$ 的值.

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19. 函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ .当 $x \in (- 3 ， 3]$ 时，完成如下题目：

(1)、写出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在下面给定的直角坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象.

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20. 某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产 $x$ 台该设备另需投入成本 $C (x)$ 元，且 $C (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 400 x ， 0 < x \leq 30 \\ 1004 x + \frac{10000}{x} - 9000 ， x > 30 \end{array}$ ，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完.

(1)、求厂商由该设备所获的月利润 $L (x)$ 关于月产量 $x$ 台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）

(2)、当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润.

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