山东省枣庄市薛城区2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {0 ， 1}$ ，则（）

A、 $B \in A$ B、A⫋B C、B⫋A D、 $A = B$

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2. 命题“ $\forall x \in (0, 1) ， x^{2} - x < 0$ ” 的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \notin (0, 1) ， x_{0}^{2} - x_{0} \geq 0$ B、 $\exists x_{0} \in (0, 1) ， x_{0}^{2} - x_{0} \geq 0$ C、 $\forall x \notin (0, 1) ， x^{2} - x < 0$ D、 $\forall x \in (0, 1) ， x^{2} - x \geq 0$

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3. 下列四个函数中，在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $f (x) = 3 - x$ B、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x + 1}$ D、 $f (x) = - | x |$

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4. 直角梯形OABC中， $A B // O C$ ， $A B = 1$ ， $O C = B C = 2$ ，直线l： $x = t$ 截该梯形所得位于l左边图形面积为S ，则函数 $S = f (t)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知是定义在R上的奇函数 $f (x)$ 是单调函数，且 $f (- 1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) < f (2)$ B、 $f (- \frac{1}{2}) > f (2)$ C、 $f (- \frac{1}{2}) = f (2)$ D、 $f (\frac{1}{2}) = - 1$

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6. 已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $k x^{2} - x + 1 < 0$ 的解集为 $(a, b)$ ，则 $2 a + b$ 的最小值是（）

A、6 B、 $5 + 2 \sqrt{6}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、3

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7. 设p：“两个一元二次不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > 0$ 与 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} > 0$ 的解集相同”，q：“ $\exists k \neq 0$ 使 $a_{1} = k a_{2} ， b_{1} = k b_{2} ， c_{1} = k c_{2}$ ”，那么p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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8. 定义 $m a x {a ， b ， c}$ 为 $a ， b ， c$ 中的最大值，设 $h (x) = m a x {x^{2} ， \frac{8}{3} x ， 6 - x}$ ，则 $h (x)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{18}{11}$ B、3 C、 $\frac{48}{11}$ D、4

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二、多选题

9. 对任意实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，给出下列命题，其中真命题是（）

A、“ $a = b$ ”是“ $a c = b c$ ”的充要条件 B、“ $a^{2} = b^{2}$ ”是“ $a = b$ ”的充分条件 C、“ $a < 5$ ”是“ $a < 3$ ”的必要条件 D、“ $a + 5$ 是无理数”是“ $a$ 是无理数”的充要条件

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10. 下列四个条件，能推出 $\frac{1}{a}$ ＜ $\frac{1}{b}$ 成立的有（）

A、b＞0＞a B、0＞a＞b C、a＞0＞b D、a＞b＞0

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11. 设 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $a b - (a + b) = 1$ ，那么（）

A、 $a + b$ 有最小值 $2 (\sqrt{2} + 1)$ B、 $a + b$ 有最大值 ${(\sqrt{2} + 1)}^{2}$ C、ab有最大值 $5 + 2 \sqrt{2}$ D、ab有最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$

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12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{array}$ 称为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域是 $[0, 1]$ B、 $\forall x \in R, f (f (x)) = 1$ C、 $f (x + 2) = f (x)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立 D、存在三个点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ， $C (x_{3}, f (x_{3}))$ ，使得 $△ A B C$ 为等腰直角三角形

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2}$ ，则 $f (x)$ 的定义域是.

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14. 若函数 $f (2 x + 1) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (3) =$ ．

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15. 若正实数 $a ， b$ 满足 $a + 2 b = 4$ ，则 $\frac{2}{a + 2} + \frac{1}{b}$ 的最小值是．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， & x \geq a \\ - x^{2} + 2 x ， & x < a \end{array}$
①若 $\exists x \in R$ 且 $x \neq 0$ ，使得 $f (1 + x) = f (1 - x)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

②若函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在①A∩B=A，②A∩( $∁$ _RB)=A，③A∩B=∅ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合 $A = {x | a - 1 < x < 2 a + 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求A∪B；

(2)、若 ▲ ，求实数a的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

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18. 已知函数f（x）是定义在 $(- 3 ， 3)$ 上的奇函数，当 $- 3 < x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ ．

(1)、求函数f（x）在 $(- 3 ， 3)$ 上的解析式；

(2)、画出函数f（x）的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域；

(3)、解不等式xf（x）＞0．

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19. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (a + 2) x < - 2 a$ 的解集为 $M$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $M$ ；

(2)、当 $a \in R$ 时，求 $M$ .

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20. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本 $y$ (单位：万元)与处理量 $x$ (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为 $y = x^{2} - 40 x + 1600$ ， $x \in [30, 50]$ ，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．

(1)、判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？

(2)、当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + | x - a |$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求证：函数 $f (x)$ 是偶函数；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ 上的最小值为 $1$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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22. 设设函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{4}{x} + (a - 2) x$ .

(1)、若 $f (1) = 6$ ，判断函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义法证明；

(2)、若函数 $f (x)$ 为奇函数， $t > 0$ ，且 $f (t + x^{2}) + f (1 - x - 2 x^{2}) > 0$ 对 $x \in [1 ， 2]$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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