辽宁省沈阳市重点高中2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < x < 4}$ ，集合 $B = {x | 2 \leq x < 5}$ ，则 $A \cap (C_{U} B) =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | x \geq 5}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 命题“对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} > x$ ”的否定是（）

A、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} > x_{0}$ B、不存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} > x_{0}$ C、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} \leq x_{0}$ D、对任意 $x_{0} \in R$ ，都有 $x_{0}^{2} \leq x_{0}$

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3. 二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 1$ 在区间 $(- \infty ， 1)$ 上单调递增的一个充分不必要条件为（）

A、 $a > 1$ B、 $a < - 2$ C、 $- \frac{1}{2} < a < 0$ D、 $0 < a < 1$

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4. 已知函数f(x)= $\sqrt{m x^{2} + m x + 1}$ 的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 4]$

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5. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{2 x - 1} - x^{5}$ B、 $f (x) = \frac{1}{2 x - 1} + x^{5}$ C、 $f (x) = \frac{1}{2 x + 1} - x^{5}$ D、 $f (x) = - \frac{1}{2 x - 1} - x^{5}$

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6. 函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上单调递增，且函数 $f (x + 2)$ 是偶函数，则下列结论成立的是（）

A、 $f (\frac{1}{2}) < f (\frac{5}{2}) < f (3)$ B、 $f (\frac{1}{2}) < f (3) < f (\frac{5}{2})$ C、 $f (3) < f (\frac{5}{2}) < f (\frac{1}{2})$ D、 $f (\frac{5}{2}) < f (\frac{1}{2}) < f (3)$

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7. 已知 $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ 时， $y_{1} = x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ 与 $y_{2} = \frac{x^{2} + x + 1}{x}$ 在同一点取得相同的最小值，那么当 $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ 时， $y_{1} = x^{2} + b x + c$ 的最大值是（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、4 C、8 D、 $\frac{5}{4}$

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8. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，对于 $\forall x \in R$ ，都有 $f (\frac{3}{4} + x) = f (\frac{3}{4} - x)$ ，且满足 $f (4) > - 2$ ， $f (2) = m - \frac{3}{m}$ ，则实数取值范围是（）

A、 $- 1 < m < 0$ 或 $m > 3$ B、 $m < - 1$ C、 $m < - 1$ 或 $0 < m < 3$ D、 $0 < m < 3$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a - 1 > b - 2$ C、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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10. 下列命题是假命题的是（）

A、不等式 $\frac{1}{x} > 1$ 的解集为 ${x | x < 1}$ B、函数 $y = x^{2} - 2 x - 8$ 的零点是(-2，0)和(4，0) C、若 $x \in R$ ，则函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、 $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ 是 $x < 2$ 成立的充分不必要条件

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11. 已知关于x的一元二次方程(3a²+4)x²-18ax+15=0有两个实根x₁ ， x₂ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a \geq \frac{\sqrt{15}}{3}$ 或 $a \leq - \frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{6}{5} a$ C、 $| x_{1} - x_{2} | = \frac{4 \sqrt{3 a^{2} - 5}}{3 a^{2} + 4}$ D、 $\frac{a x_{1} x_{2} - 5 x_{2}}{a x_{1} x_{2} - x_{1}} = - 5$

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12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数 $f (x)$ ，存在一个点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4} + x + 3$ B、 $g (x) = x^{2} - x + 3$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} - 1 ， x \leq 1 \\ | 2 - x | ， x > 1 \end{array}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x} - x$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1 ， 1]$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 1$ ；当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时， $f (- x) = - f (x)$ .则 $f (x) =$ .

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14. 设全集是 $R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ ， $B = {x | 1 - a < x < 2 a + 3}$ .若 $A \cap B = B$ ，则实数a的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = x^{2}$ ，对任意的 $x \in [a - 1 ， a + 1]$ ，恒有 $f (x + 2 a) \geq 3 f (x)$ ，则实数 $a$ 的最大值为．

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16. 设二次函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 3) x + 3$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的零点为-3，2，则函数 $f (x) =$ ；

(2)、若 $f (1) = 1$ ， $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在① $2 \in M ， 3 \notin M$ ，②函数 $y = \frac{a}{x} - 1$ 的图象经过点 $P (2 ， - \frac{5}{4})$ ，③ $a < 0$ ， $2 a^{2} - 5 a - 3 = 0$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知集合 $M = {x \in N | x \leq 3 + 2 a}$ ， $N = {x | 1 < 2 x + 1 < 6}$ ，且 ▲ ，求 $M \cap N$ .

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18. 某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量 $q (q \in N^{*})$ 的函数关系式为 $C = 100 + 4 q$ ，销售单价p与产量 $q$ 的函数关系式为 $p = 25 - \frac{1}{16} q$ .要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于多少？并求出最大平均利润.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \geq 0 \\ x^{2} - 2 x ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (- a) + f (a) \leq 2 f (1)$ ，求a的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - ax + 3$ ．
（Ⅰ）若 $f (x) \leq - 3$ 的解集为 $[b ， 3]$ ，求实数a，b的值；

（Ⅱ）当 $x \in [\frac{1}{2} ， + \infty)$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \geq 1 - x^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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21. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $\frac{1}{2} f (x) - g (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x + 5) + g (\frac{1}{x - 1}) < g (x) + g (\frac{1}{x})$ ，求x的取值范围.

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22. 函数 $f (x) = \min {2 \sqrt{x} ， | x - 2 |}$ ，其中 $\min {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{array}$ ，若动直线 $y = m$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象有三个不同的交点，他们的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，求 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}$ 的最大值.

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