江苏省无锡市滨湖区2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | - 1 \leq x < 2 ， x \in Z}$ 中的元素个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (8) =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、4 D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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3. 如果 $a < b < 0$ ，那么下列不等式中正确的是（）

A、 $a b > a^{2}$ B、 $a^{2} < b^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$

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4. “ $x > 3$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 6$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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5. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（）

A、最小长度为8 B、最小长度为 $4 \sqrt{2}$ C、最大长度为8 D、最大长度为 $4 \sqrt{2}$

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7. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $f (- 2) = 3$ ，则满足 $f (2 x - 3) < 3$ 的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{5}{2})$ C、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$

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8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x + 2 ， x > 1 \\ (2 - 3 a) x + 1 ， x \leq 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3} ， 1]$ B、 $[- 1 ， \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ D、 $(\frac{2}{3} ， 2]$

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二、多选题

9. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 4} ， B = {0 ， 1 ， 3}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {0 ， 1}$ B、 $∁_{U} B = {4}$ C、 $A \cup B = {0 ， 1 ， 3 ， 4}$ D、集合A的真子集个数为8

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10. 已知 $a ， b \in R^{+}$ 且 $a + b = 1$ ，那么下列不等式中，恒成立的有（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $a - b < 1$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 1$

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11. 下列各结论中正确的是（）

A、“ $x y > 0$ ”是“ $\frac{x}{y} > 0$ ”的充要条件 B、“ $\sqrt{x^{2} + 9} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ ”的最小值为 $2$ C、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ ” D、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”的充分不必要条件

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12. 对任意两个实数 $a ， b$ ，定义 $\min {a ， b} = {\begin{matrix} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{matrix}$ ，若 $f (x) = 2 - x^{2}$ ， $g (x) = x^{2} - 2$ ，下列关于函数 $F (x) = \min {f (x) ， g (x)}$ 的说法正确的是（　　）

A、函数 $F (x)$ 是偶函数 B、方程 $F (x) = 0$ 有两个解 C、方程 $F (x) = m$ 至少有三个根 D、函数 $F (x)$ 有最大值为0，无最小值

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + \sqrt{x + 2}$ 的定义域为.

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14. 已知函数 $f (2 x - 1) = x^{2}$ ，则 $f (3) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 1} (x < 1)$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x + b}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 的奇函数，则实数 $b$ 的值为；若函数 $g (x) = - x^{2} + 2 x + a$ ，如果对于 $\forall x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ， $\exists x_{2} \in [- 2 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x \leq - 3$ 或 $x \geq 2}$ ， $B = {x | \frac{x - 1}{x - 5} < 0}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) \cup B$ .

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x (x > 0) \\ 1 (x = 0) \\ - x - 1 (x < 0) \end{array}$ .

(1)、求 $f (f (- 1))$ 的值；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象；

(3)、指出函数 $f (x)$ 的单调区间.（直接写结果）

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{3}{x} - 4$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、用单调性定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(\sqrt{3} ， + \infty)$ 上是增函数.

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20. 已知命题“ $\forall x \in R$ ，都有不等式 $x^{2} + 2 x + m - 1 > 0$ 成立”是真命题.

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $B$ ；

(2)、设不等式 $(x - 3 a) (x - a - 2) < 0$ 的解集为 $A$ ，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 $2 \leq t \leq 20$ ，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当 $10 \leq t \leq 20$ 时列车为满载状态，载客量为500人，当 $2 \leq t < 10$ 时，载客量会减少，减少的人数与 $(10 - t)$ 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为 $p (t)$ ．
（Ⅰ）求 $p (t)$ 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；

（Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为 $Q (t) = \frac{8 p (t) - 2656}{t} - 60$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．

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22. 已知幂函数 $f (x) = (p^{2} - 3 p + 3) x^{p^{2} - \frac{3}{2} p - \frac{1}{2}}$ ，满足 $f (2) < f (4)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式.

(2)、若函数 $g (x) = f^{2} (x) + m f (x)$ ， $x \in [1 ， 9]$ ，是否存在实数 $m$ 使得 $g (x)$ 的最小值为0？

(3)、若函数 $h (x) = n - f (x + 3)$ ，是否存在实数 $a ， b (a > b)$ ，使函数 $h (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的值域为 $[a ， b]$ ？若存在，求出实数 $n$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

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