黑龙江省齐齐哈尔市五校2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 2}$ ， $a = 1$ ，则 $a$ 与集合 $A$ 的关系是（）

A、 $a \in A$ B、 $a \notin A$ C、 $a = A$ D、 ${a} \in A$

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2. 命题“ $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $x^{2} + 1 < 2 x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，总有 $x^{2} + 1 \geq 2 x$ B、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ，总有 $x^{2} + 1 < 2 x$ C、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $x^{2} + 1 \geq 2 x$ D、 $\exists x \notin (0 ， + \infty)$ ，使得 $x^{2} + 1 \geq 2 x$

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3. 函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(\frac{1}{3} ， 9)$ ，则 $f (9)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{1}{81}$ D、81

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4. 已知 $x \in R$ ，条件 $p$ ： $x^{2} < x$ ，条件 $q$ ： $\frac{1}{x} \geq a$ ，若 $q$ 是 $p$ 的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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5. 已知 $2 \leq a + b \leq 5$ ， $- 2 \leq a - b \leq 1$ ，则 $3 a - b$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 4]$ B、 $[- 2 ， 7]$ C、 $[- 7 ， 2]$ D、 $[2 ， 7]$

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6. 已知集合 $M = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ，集合 $N = {x | y = \sqrt{3 - x}}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $[- 1 ， 2]$ D、 $[- 1 ， 3]$

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7. 已知函数 $f (x) = (a - 1) x^{2} - 2 x - 3$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + a x + a + 1$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} - x$ B、 $x^{2} + x$ C、 $- x^{2} + x$ D、 $- x^{2} - x$

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二、多选题

9. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $| a | > | b |$ C、 $a + b < a b$ D、 $a b < a^{2}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 同时满足条件：①对于定义域内的任意 $x$ ，都有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域内的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ．则函数 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x ， x \leq 0 \\ - x^{2} - 4 x ， x > 0 \end{array}$ D、 $f (x) = - 2 x$

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11. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = 2$ ，若 $\frac{m}{m - 1} \leq \frac{x + 2 y}{x y}$ 对任意的 $x > 0$ ， $y > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{12}{7}$ D、2

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他的阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数．例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[1.1] = 1$ ．已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2 + x^{2}} - \frac{1}{2}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的有（）

A、 $g (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0}$ D、 $g (x)$ 是 $R$ 上的减函数

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三、填空题

13. 若 $- 1 \in {a ， a^{2} - a - 3}$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 1 ， x \geq 6 \\ f (f (x + 6)) ， x < 6 \end{array}$ ，则 $f (5)$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 6 x + 3$ ， $g (x) = | x - 3 |$ ，若函数 $F (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， f (x) < g (x) ， \\ g (x) ， f (x) \geq g (x) ， \end{array}$ 则 $F (x)$ 的最大值为．

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，则当 $a =$ 时， $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{a + b}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知定义在 $[- 5 ， 5]$ 上的函数 $f (x)$ 的图象如图所示．

(1)、写出 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(a - 1 ， 2 a)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围．

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18. 设 $p$ ：实数 $x$ 满足 $(x - a) (x - 4 a) < 0$ ，其中 $a > 0$ ． $q$ ：实数 $x$ 满足 $\frac{x - 3}{x - 2} \leq 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求满足 $p$ ， $q$ 条件的实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 设集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 10 < 0}$ ， $B = {x | 2 - m < x < 2 m + 1 ， a \in R}$ ， $C = {x | - 3 < x < 3}$ ．

(1)、全集 $U = R$ ，求 $(∁_{U} A) \cap C$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a x - b}{x^{2} + 1}$ 为 $R$ 上的奇函数，且 $f (4) = \frac{4}{17}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上的单调性，并且定义证明你的结论；

(2)、求不等式 $f (x^{2} - 2 x + 4) + f (- 7) \geq 0$ 的解集．

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21. 某工厂生产一新款 $5 G$ 电子产品，每日的成本 $C$ （单位：万元）与日产量 $x$ （ $x \in N^{*}$ ，单位：千只）的关系满足 $C = x + 1$ ．每日的销售额 $S$ （单位：万元）与日产量 $x$ 的关系满足：当 $1 \leq x \leq 7$ 时， $S = \frac{16 x}{x + 1} + x$ ，当 $7 \leq x < 16$ 时， $S = 3 x + \frac{k}{x - 16} + 1$ ；当 $x \geq 16$ 时， $S = 29$ ．已知每日的利润 $L = S - C$ （单位：万元）．

(1)、求 $k$ 的值，并将该产品每日的利润 $L$ （万元）表示为日产量 $x$ （千只）的函数；

(2)、当日产量为多少千只时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

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22. 设函数 $f (x) = a x^{2} - (3 a + 2) x + 5$ ．

(1)、若 $f (x) > (a - 2) x^{2} - (a + 1) x$ 在 $x \in [- 1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > - 1$ ．

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