广东省深圳市龙岗区2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x \in N | - 1 < x \leq 4}$ ， $B = {- 1 ， 1 ， 3}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${- 1 ， 1 ， 3}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 $(- 1 ， 4]$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 3 ， x \leq 1 \\ x - 4 ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (0)) =$ （）

A、-1 B、-2 C、-3 D、-4

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3. 若 $a \in R$ ，则“ $a^{3} > 1$ ”是“ $a^{2} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知命题 $p$ ： $\exists n \in N$ ， $n^{2} \geq 2 n + 5$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall n \notin N$ ， $n^{2} \geq 2 n + 5$ B、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} \leq 2 n + 5$ C、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} < 2 n + 5$ D、 $\exists n \notin N$ ， $n^{2} < 2 n + 5$

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5. 已知 $x, y$ 为正实数，且 $2 x + y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、7 C、9 D、11

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6. 已知一元二次方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 的两根都在 $(0 ， 4)$ 内，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{5}{2} ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{5}{2} ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- \frac{17}{4} ， - 2)$ D、 $(- \frac{17}{4} ， - 2]$

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7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数 $f (x) = \frac{3 x}{1 - x^{2}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知定义在 $[a - 1 ， 2 a]$ 上的偶函数 $f (x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2 a]$ 时， $f (x)$ 单调递减，则关于x的不等式 $f (x - 1) > f (2 x - 3 a)$ 的解集是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3})$ B、 $[\frac{1}{6} ， \frac{5}{6}]$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ D、 $(\frac{2}{3} ， \frac{5}{6}]$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $b^{2} < a b < a^{2}$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$

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10. 下列四个函数中，在 $(1 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $f (x) = - \frac{3}{x + 1}$ B、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ C、 $f (x) = | x |$ D、 $f (x) = 3 - x$

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11. 函数 $f (x)$ 对任意 $x ， y \in R$ 总有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ， $f (1) = \frac{1}{3}$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数 B、 $f (x)$ 在 $[- 6 ， 6]$ 上的最小值为-2 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、若 $f (x) + f (x - 3) \geq - 1$ ，则实数 $x$ 的取值范围为 $[0 ， + \infty)$

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12. 德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ， 1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” $y = f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in C_{R} Q \end{array}$ 其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数 $f (x)$ 有如下四个命题，正确的为

A、函数 $f (x)$ 是偶函数 B、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in C_{R} Q$ ， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ 恒成立 C、任取一个不为零的有理数T ， $f (x + T) = f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立 D、不存在三个点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ ， $C (x_{3} ， f (x_{3}))$ ，使得 $Δ A B C$ 为等腰直角三角形

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三、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{x} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为.

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14. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m + 1) x^{2 m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上为增函数，则实数 $m$ 的值为．

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15. 函数 $f (x) = x | x - 2 |$ 的单调减区间为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (1 + x) (x \in R)$ ，且对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ 时，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则当 $f (2 a^{2} + a + 2) < f (2 a^{2} - 2 a + 4)$ 时，实数a的取值范围为.

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四、解答题

17. 设全集为 $Z$ ， $A = {x | x^{2} + 2 x - 15 = 0}$ ， $B = {x | a x - 1 = 0}$ ．

(1)、若 $a = - \frac{1}{5}$ ，求 $A \cap (∁_{Z} B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值组成的集合 $C$ .

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18. 设 $a \in R$ ，命题p： $\exists x \in [- 1 ， \frac{1}{2}] ， x^{2} - a > 0$ ，命题q： $\forall x \in R ， x^{2} + a x + 1 > 0$ .

(1)、若命题p是真命题，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题¬p与q至少有一个为假命题，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{(x + 1) (x + a)}{x^{2}}$ 为偶函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $x \in {[\frac{1}{m} ， \frac{1}{n}]}_{} (m > 0 ， n > 0)$ 时，若函数 $f (x)$ 的值域为 $[2 - 3 m$ ， $2 - 3 n]$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{3}{x} - 4$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、用单调性定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(\sqrt{3} ， + \infty)$ 上是增函数.

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21. 2021年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 构成的面积为200m²的十字型地域，计划在正方形 $M N P Q$ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元/ m² ，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/ m² ，再在四个空角（如 $△ D Q H$ 等）上铺草坪，造价为80元/ m².设AD长为xm，DQ长为ym.

(1)、试找出 $x$ 与 $y$ 满足的等量关系式；

(2)、设总造价为 $S$ 元，试建立 $S$ 与 $x$ 的函数关系.若总造价 $S$ 不超过138000元，求 $A D$ 长 $x$ 的取值范围.

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22. 1.已知二次函数 $f (x) = x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ .

(1)、函数在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值记为 $g (m)$ ，求 $g (m)$ 的最大值；

(2)、若函数 $y = | f (x) |$ 在 $[2 ， 4]$ 上是单调增函数，求实数m的取值范围.

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