广东省八校2021-2022学年高一上学期数学期中调研试卷

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 2 x > 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 $\emptyset$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1}$

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2. 命题“ $\exists x \in R ， | x | + \sqrt{x} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R ， | x | + \sqrt{x} \geq 0$ B、 $\exists x \in R ， | x | + \sqrt{x} < 0$ C、 $\forall x \in R ， | x | + \sqrt{x} < 0$ D、 $\exists x \notin R ， | x | + \sqrt{x} < 0$

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3. 若 $a > b$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a > | b |$

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4. 函数 $y = \frac{x}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{2 - x}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $[- 1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 2]$

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5. 某企业一个月生产某种商品 $x$ 万件时的生产成本为 $C (x) = x^{2} + 4 x + 10$ (万元)，一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为（）

A、139万元 B、149万元 C、159万元 D、169万元

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6. 已知集合 $A = {x | \frac{2}{x - 1} \in Z, x \in Z}$ ，则集合A的真子集的个数为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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7. 若 $a = 3^{0.3} ， b = \log_{3} 0.3 ， c = \log_{\frac{1}{3}} 3$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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8. 若函数 $f (x)$ 是奇函数，且在定义域 $R$ 上是减函数， $f (- 2) = 3$ ，则满足 $- 3 < f (x - 3) < 3$ 的实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 5)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(3 ， 6)$ D、 $(2 ， 5)$

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二、多选题

9. 若“ $x > a$ ”是“ $x^{2} - 2 x > 0$ ”的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值可以是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 已知 $x > 0 ， y > 0$ 且 $x + 4 y = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为9 B、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、 $2^{x} + 16^{y}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{y}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为6

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11. 已知定义域为 $I$ 的偶函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $\exists x_{0} \in I$ ， $f (x_{0}) < 0$ ，则下列函数中不符合上述条件的是（）

A、 $f (x) = x^{2} + | x |$ B、 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ C、 $f (x) = \log_{2} | x |$ D、 $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} x | ， 0 < x < 4 \\ 6 - x ， x ⩾ 4 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (b) = f (c) (a < b < c)$ ，则 $a b c$ 的取值可能是（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、6

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三、填空题

13. 若a∈{1，a²﹣2a+2}，则实数a的值为.

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14. 已知函数 $f (x) = (t - 2) x^{t}$ 是幂函数，则函数 $g (x) = \log_{a} (x + t) + t$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过定点．

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15. 命题∶“ $\forall x \in R$ ， $\ln (x^{2} - x + m) \geq 0$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 定义： $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[- 1.3] = - 2$ ，则函数 $f (x) = \frac{[x]}{x} (x \geq 1)$ 的值域为．

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四、解答题

17. 若集合 $A = {x | 2 x - 1 \geq 3}$ ， $B = {x | 3 x - 2 < m}$ ， $C = {x | x < 5 ， x \in N}$ .

(1)、求 $A \cap C$ ；

(2)、若 $A \cup B = R$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 计算下列各式：

(1)、 ${0.001}^{- \frac{1}{3}} - {(\frac{7}{8})}^{0} + 16^{\frac{3}{4}} + {(\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3})}^{6}$

(2)、 $\log_{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + \lg 25 + \lg 4 - 7^{- \log_{7} 2}$

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{m}{e^{x}}$ 是定义在R上的奇函数（其中e是自然对数的底数）．

(1)、求实数m的值；

(2)、若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，求实数a的取值范围．

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20. 已知集合 $A = {x | x^{2} - (2 a - 1) x + a (a - 1) < 0}$ ， $B = {x | 2 x^{2} - 3 x + 1 \leq 0}$ ．

(1)、设命题 $p$ ： $x \in A$ ，命题 $q$ ： $x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若存在 $x \in A \cap B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 已知集合 ${x \in R | x^{2} - (k + 2) x - 3 k + 1 \geq 0} = (- \infty, - 1] \cup [5, + \infty)$ ．
（Ⅰ）求实数k的值；

（Ⅱ）已知 $t \in (- \infty, 2)$ ，若不等式 $x^{2} - (k + 2) x - 3 k - m^{2} + 4 m + 15 \geq 0$ 在 $t \leq x \leq 4$ 上恒成立，求实数m的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1 - a x}{x - 1}$ 为奇函数， $a$ 为常数.

(1)、确定 $a$ 的值；

(2)、求证： $f (x)$ 是 $(1, + \infty)$ 上的增函数；

(3)、若对于区间 $[3, 4]$ 上的每一个 $x$ 值，不等式 $f (x) > {(\frac{1}{2})}^{x} + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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