北京市丰台区2021-2022学年高一上学期数学期中练习试卷（B卷）

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $2 \subseteq A$ B、 $\emptyset \in A$ C、 $2 \in A$ D、 $2 \notin A$

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2. 已知命题 $p$ ：“ $\forall a \in R$ ，方程 $x^{2} - a x - 1 = 0$ 有实根”，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall a \in R$ ，方程 $x^{2} - a x - 1 = 0$ 无实根 B、 $\exists a \in R$ ，方程 $x^{2} - a x - 1 = 0$ 无实根 C、 $\exists a \in R$ ，方程 $x^{2} - a x - 1 = 0$ 有实根 D、 $\exists a \notin R$ ，方程 $x^{2} - a x - 1 = 0$ 有实根

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3. 下列函数中，是偶函数的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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4. 若 $a > b$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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5. 已知 $a ， b$ 均为正实数，且 $a b = 3$ ，那么 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、12 B、9 C、6 D、3

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6. “ $x^{2} - 1 > 0$ ”是“ $x - 1 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $2^{m} > 2^{n} > 1$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $m > n > 0$ B、 $n < m < 0$ C、 $m < n < 0$ D、 $n > m > 0$

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8. 已知下列四组函数：① $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$ ；② $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ ；③ $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ ；④ $f (x) = | x |$ ， $g (x) = {\begin{cases} x ， x \geq 0 ， \\ - x ， x < 0. \end{cases}$ 其中 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一个函数的组号为（）

A、① B、② C、③ D、④

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9. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - x + a < 0$ 解集为 $R$ ，则的取值范围是（）

A、 $a < - \frac{1}{2} ，$ 或 $a > \frac{1}{2}$ B、 $a < - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} < a < 0$

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10. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足如下两个条件：①对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (- x)$ ；②对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .若 $| a_{1} | > | a_{2} |$ ，则（）

A、 $f (a_{1}) > f (a_{2})$ B、 $f (a_{1}) < f (a_{2})$ C、 $f (a_{1}) = f (a_{2})$ D、无法确定 $f (a_{1})$ 与 $f (a_{2})$ 的大小关系

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二、填空题

11. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点(2，4)，则 $α =$ ．

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12. $8^{\frac{2}{3}} + {(\sqrt[3]{π})}^{0} =$ .

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13. $M = {a^{2} ， - a}$ ， $N = {1}$ ，若 $N \subseteq M$ ，则 $a$ 的值为．

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14. 设函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域为D ，若存在非零实数 $c \in D$ ，使得 $f (c) + g (c) = 0$ ，则称函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在D上具有性质P.
现有三组函数：

① $f (x) = x$ ， $g (x) = x^{2}$ ；

② $f (x) = x^{3}$ ， $g (x) = 2^{x}$ ；

③ $f (x) = - x^{2}$ ， $g (x) = 2^{x}$

其中具有性质P的是．（填上所有满足条件的组号）

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15. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq 0}$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 上的图象如下图.则 $f (- 2) =$ ；根据图象，写出满足函数值 $f (x) > 0$ 时 $x$ 的取值集合.

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三、解答题

16. 已知集合 $A = {x | 3 \leq x < 10}$ ，集合 $B = {x | 3 x - 2 < 13}$ .

(1)、求 $∁_{R} A$ ；

(2)、求 $A \cap B$ ；

(3)、求 $(∁_{R} A) \cup B$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ， $g (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， 16)$ .

(1)、写出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在同一个坐标下用描点法作出函数 $f (x) ， g (x)$ 的图象，并求出当函数值 $f (x) < g (16)$ 时，自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $x > 0$ 时，用 $N (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的最小者，记 $N (x) = \min {f (x) ， g (x)}$ （例如， $\min {3 ， 9} = 3$ ），求函数 $N (x)$ 的值域.（请直接写出结果）

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18. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

(1)、求函数的单调区间和最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 满足 ▲ （从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知），求 $a$ 的取值范围.（注意：只选一个，若两个都选，按选择①给分）
条件①：在区间 $(a ， a + 2)$ 上是单调函数；

条件②： $\forall x \in (a ， a + 2)$ ，函数值 $f (x) < 0$ 恒成立.

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19. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - (a + 2) x + 2 a$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$

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20. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，水价包括自来水价格和污水处理价格，即水价为两者价格之和.计费方法如下表：

每户月用水量	自来水价格	污水处理价格
不超过12吨的部分	2元/吨	1元/吨
超过12吨但不超过18吨的部分	5元/吨	1元/吨
超过18吨的部分	8元/吨	1元/吨

(1)、若某户居民本月缴纳的水费为48元，则此户居民本月的用水量是多少；

(2)、试建立居民缴纳水费

y

（单位：元）与居民用水量

x

（单位：吨）的函数解析式.（用分段函数形式表示）

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；（不需证明）

(2)、判断 $f (x)$ 在区间（0，1）上的单调性，并用单调性定义证明；

(3)、写出函数 $f (x)$ 的值域.

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