北京市丰台区2021-2022学年高一上学期数学期中练习试卷（A卷）

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列关系中正确的是（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 ${0} \in \emptyset$ C、 $0 \in N$ D、 ${0} \in N$

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2. 命题“ $\forall x \geq 0$ ， $x^{2} + x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} < 0$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} < 0$ B、 $\forall x < 0$ ， $x^{2} + x \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \geq 0$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} < 0$ D、 $\exists x_{0} \geq 0$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} \geq 0$

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3. 下列函数中在定义域上单调递增的是（）

A、 $f (x) = 1 - x$ B、 $f (x) = x^{2} + 1$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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4. 若 $a > b$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} < b^{3}$

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5. 设集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {y | 0 \leq y \leq 3}$ ，函数 $f (x)$ 定义域为 $A$ ，值域为 $B$ ，则函数 $f (x)$ 的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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6. “ $a \geq 4$ ”是“二次函数 $f (x) = x^{2} - a x + a$ 有零点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $2^{m} > 2^{n} > 1$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $m > n > 0$ B、 $n < m < 0$ C、 $m < n < 0$ D、 $n > m > 0$

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8. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $a b = 4$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 8$ B、 $a + b \leq 4$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ D、 $a + 2 b \geq 8$

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9. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足如下两个条件：①对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (- x)$ ；②对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .若 $| a_{1} | > | a_{2} |$ ，则（）

A、 $f (a_{1}) > f (a_{2})$ B、 $f (a_{1}) < f (a_{2})$ C、 $f (a_{1}) = f (a_{2})$ D、无法确定 $f (a_{1})$ 与 $f (a_{2})$ 的大小关系

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ ，有以下结论：
① $f (x)$ 的图象关于原点对称；

② $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；

③ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

④ $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1)$ .

其中所有正确结论的序号是（）

A、② B、①④ C、②④ D、①③④

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \sqrt{4 x - x^{2}}$ 的定义域为.

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12. 计算： $27^{\frac{1}{3}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{0} =$ .

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13. 设集合 $M = {a^{2} ， a}$ ， $N = {1}$ ，若 $N \subseteq M$ ，则 $a$ 的值为．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} 3^{- x} ， x < 0 \\ x^{2} ， x \geq 0 \end{cases}$ ，那么 $f (x)$ 的最小值是．

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15. 甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程 $f_{i} (x) (i = 1 ， 2 ， 3)$ 关于时间 $x (x \geq 0)$ 的函数关系式分别为 $f_{1} (x) = 2^{x} - 1$ ， $f_{2} (x) = x^{2}$ ， $f_{3} (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，有以下结论：
① 当 $x > 1$ 时，乙总走在最前面；

② 当 $0 < x < 1$ 时，丙走在最前面；当 $x > 1$ 时，丙走在最后面；

③ 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.

其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 已知指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象经过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ．

(1)、求指数函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求满足不等式 $f (| x |) < \frac{1}{4}$ 的实数 $R$ 的取值范围．

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17. 设全集为 $R$ ， $A = {x | x < - 1$ 或 $x > 3}$ ， $B = {x | 1 - a < x < 2 a + 3}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} A) \cup B$ .

(2)、已知 ▲ ，求实数 $a$ 的取值范围.
从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答.

① $A \cup B = R$ ；② $A \cap B = \emptyset$ ；③ $B \subseteq A$ .

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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18. 给定函数 $f (x) = - x + 1$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ ， $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = \max {f (x) ， g (x)}$ .
例如，当 $x = 2$ 时， $M (2) = \max {f (2) ， g (2)} = \max {- 1 ， 1} = 1$ .

(1)、用分段函数的形式表示该函数 $M (x)$ ，并画出函数 $M (x)$ 的图象；

(2)、根据图象写出函数的单调递减区间和值域.

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、当 $x \in [- 2 ， - 1]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值及对应的 $x$ 的值．（只需写出结论）

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + 1) x + 2 a$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $A = {x | 1 < x < 2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集．

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21. 物联网(Internet of things)是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）之间的关系为 $： y_{1} = \frac{m}{x + 1} (m \neq 0) ，$ ，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与x之间的关系为： $y_{2} = n x (n \neq 0)$ ；若在距离车站11.5千米建仓库，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 分别为4万元和23万元.

(1)、求 $m ， n$ 的值；

(2)、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

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