北京房山区2021-2022学年度高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-11-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {0 ， 1 ， 3}$ ， $N = {0 ， 2}$ ，则 $M \cup N$ 中元素的个数为（）

A、0 B、2 C、3 D、4

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2. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 < 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 > 0$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

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3. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，则下列命题中的真命题是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a < b$ ，则 $a c < b c$ C、若 $a > b$ ， $c < 0$ ，则 $a c > b c$ D、若 $a > b$ ， $c < 0$ ，则 $a c < b c$

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4. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y + 3 = 0 \\ x - y = 1 \end{array}$ 的解集是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 2 \end{array}$ B、 $(- 1 ， - 2)$ C、 ${(- 1 ， - 2)}$ D、 ${- 1 ， - 2}$

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5. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

x

1

2

3

f $(x)$

6.1

2.9

-3.5

那么函数 $f (x)$ 一定存在零点的区间是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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6. 不等式 $| x - 1 | > 2$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (3 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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7. 下列四组函数，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = x$ B、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - x}{x - 1}$ C、 $f (x) = | x - 2 |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x - 2 ， x \geq 2 \\ 2 - x ， x < 2 \end{array}$ D、 $f (x) = \sqrt{x +1} \cdot \sqrt{x - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在上 $[0, 1]$ 的函数，那么“函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增”是“函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的最大值为 $f (1)$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \geq 0 \\ \sqrt{- x} ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = 4$ ，则 $a$ 等于（）

A、2 B、-2 C、 $\pm 2$ D、2或-16

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10. 某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满.公司欲提高客房档次，并提高租金.如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（）元时，每天客房的租金总收入最高.

A、22 B、20 C、18 D、16

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二、填空题

11. 已知区间 $A = (- 1 ， + \infty)$ ， $B = (- \infty ， 3)$ ，则 $A \cap B =$ .

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12. 拟定从甲地到乙地通话 $t$ 分钟的电话费为 $f (t)$ 元，且 $f (t) = 1.06 \times (0.5 \times [t] + 1)$ ，其中 $t > 0$ ， $[t]$ 表示不小于 $t$ 的最小整数.即 $[5] = 5$ ， $[2.4] = 3$ ， $[3.5] = 4$ ，则从甲地到乙地通话5.5分钟的电话费为.

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13. 已知函数 $f (x)$ 同时满足下列条件：① $f (x)$ 定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ ；② $f (x)$ 是偶函数；③ $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，则 $f (x)$ 的一个解析式是.

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14. 非空数集A如果满足：① $0 \notin A$ ；②若 $\forall x \in A$ ，有 $\frac{1}{x} \in A$ ，则称A是“互倒集”．给出以下数集：① ${x \in R | x^{2} + a x + 1 = 0}$ ；② ${x | x^{2} - 6 x + 1 \leq 0}$ ；③ ${y | y = \frac{2}{x}, x \in [1, 4]}$ ；其中“互倒集”的是（请在横线上写出所有正确答案）

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15. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + p x - q < 0$ 的解集是 ${x | 1 < x < 2}$ ，则 $p =$ ， $q =$ .

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三、解答题

16. 已知方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，求下列各式的值：

(1)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ；

(2)、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ；

(3)、 $| x_{1} - x_{2} |$ .

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17. 已知函数 $f (x) = x^{2} - b x + 3$ .

(1)、若 $f (0) = f (4)$ ，求函数 $y = f (x)$ 的零点；

(2)、若 $f (x) > 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为集合 $A$ ，集合 $B = {x | a - 1 < x < 1 + a}$ .

(1)、求集合 $A$ 与 $∁_{R} A$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本 $f (x)$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可近似地表示为 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 100 x + 40000$ .

(1)、写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、为使每吨平均处理成本最低（如处理 $500$ 吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为 $\frac{f (500)}{500}$ ），该厂每月垃圾处理量应为多少吨？

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20. 已知函数 $f (x) = x - \frac{4}{x}$

(1)、判断函数的奇偶性，并说明理由：

(2)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；

(3)、求函数 $f (x) = x - \frac{4}{x}$ ， $x \in [- 4 ， - 1]$ 的值域.

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x	1	2	3
f $(x)$	6.1	2.9	-3.5