重庆市缙云联盟2021-2022学年高一上学期数学10月质量检测试卷

试卷更新日期：2021-11-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $M = {x | y = \frac{\ln (x + 1)}{x - 1}}$ ， $N = {x | 3 x - 2 < 4}$ ，则 $M \cap (∁_{U} N) =$ （）．

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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2. “ $sin x < cos x$ ”是“ $tan x < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（）

A、斜三角形的内角是锐角或钝角 B、至少有一个实数 $x$ ，使 $x^{3} > 0$ C、任一无理数的平方必是无理数 D、存在一个负数 $x$ ，使 $\frac{1}{x} > 2$

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4. 若全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $M = {1 ， 3 ， 4}$ ， $N = {2 ， 3 ， 4}$ ，则集合 $∁_{U} (M \cap N)$ 等于（）

A、 ${5 ， 6}$ B、 ${1 ， 5 ， 6}$ C、 ${2 ， 5 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 5 ， 6}$

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5. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0}$ ， $B = {x | x - 3 < 0}$ ，则 $(∁_{R} B) \cap A =$ （）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $[3 ， 5)$ D、 $(1 ， 3]$

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6. 对于实数a，b，c下列命题中的真命题是(　　)

A、若a＞b，则ac²＞bc² B、若a＞b＞0，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若a＜b＜0，则 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ D、若a＞b， $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则a＞0，b＜0

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7. “ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ”是“ $a \in (0 ， + \infty) ， b \in (0 ， + \infty)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ ，则不等式 $f (\log_{2} x - 1) \leq f (3)$ 的解集为（）

A、 $[4 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 4)$ C、 $[\frac{1}{8} ， 16]$ D、 $[\frac{1}{4} ， 16]$

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二、多选题

9. 如图， $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的三条边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $∠ A B C$ 为钝角， $B D ⊥ A B$ ， $\cos 2 ∠ A B C = - \frac{7}{25}$ ， $c = 2$ ， $b = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $sin A = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $B D = 1$ C、 $5 \vec{C D} = 3 \vec{D A}$ D、 $△ C B D$ 的面积为 $\frac{3}{5}$

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10. 现有以下结论
①函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值是2；

②若 $a$ ， $b \in R$ 且 $a b > 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ ；

③ $y = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值是2；

④函数 $y = 2 - 3 x + \frac{4}{x} (x > 0)$ 的最小值为 $2 - 4 \sqrt{3}$ ．

其中，不正确的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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11. 下列表示不是同一集合的是（）

A、 $M = {(3 ， 2)}$ ， $N = {(2 ， 3)}$ B、 $M = {(x ， y) | 2 x + y = 1}$ ， $N = {y | 2 x + y = 1}$ C、 $M = {1 ， 2}$ ， $N = {2 ， 1}$ D、 $M = {2 ， 4}$ ， $N = {(2 ， 4)}$

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12. 已知集合 $M \subseteq {4 ， 7 ， 8}$ ，且 $M$ 中至多有一个偶数，则这样的集合 $M$ 可以为（）

A、 ${4 ， 7}$ B、 $\emptyset$ C、 ${4 ， 7 ， 8}$ D、 ${7}$

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三、填空题

13. 已知图形 $P$ ，则“图形 $P$ 是中心对称图形”的一个充分非必要条件可以是.

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14. 设a、b是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b$ ∥ $α$ ②若 $a$ ∥ $α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $a ⊥ β$

③若 $a ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $a$ ∥ $α$ ④若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

其中正确的命题序号是

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15. 如果对于任意的正实数 $x$ ，不等式 $x + \frac{a}{x} \geq 1$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知a，b， $c \in (0 ， + \infty)$ ，满足 $a b c (a + b + c) = 1$ ， $S = (a + c) (b + c)$ ，当S取最小值时，c的最大值为.

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四、解答题

17. 已知 $α$ ： $4 x + p < 0$ ， $p ， x \in R$ .

(1)、设 $- p \in {x | x$ 满足 $α$ $}$ ，求满足条件的最小整数 $p$ ；

(2)、若 $α$ 是“ $x^{2} - x - 2 > 0$ ”的充分条件，求实数 $p$ 的取值范围.

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18. 已知 $A = {x | | x - 3 | < 1}$ ， $B = {x | (x - 3) (x - 1) > 0}$ .
求：

(1)、 $A \cup B$ ；

(2)、 $A \cap (∁_{R} B)$ .

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19. 设命题 $α ： A = {x | x^{2} + 4 x = 0}$ ，命题 $β ： B = {x | x^{2} + 2 (a + 1) x + 1 - a = 0}$ ，若 $α$ 是 $β$ 的必要条件，但 $α$ 不是 $β$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值组成的集合.

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20. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (a - 2) x - 2 > 0 (a \in R， a$ 是常数 $)$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求不等式的解集；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (a - 2) x - 2 > 0$ 的解集．

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21. 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）的值有关，其公式为 $F = \frac{76000 v}{v^{2} + 18 v + 100}$ .

(1)、在该模型下，请你判断是否一定车速越快车流量越大？并说明理由；

(2)、为了增加高峰时刻的车流量，使最大车流量控制在不少于1900辆/小时，应该如何限定车速（车速数据保留两位小数）？

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22. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 7 \leq 2 x - 1 \leq 7}$ ， $B = {x | m - 1 \leq x \leq 3 m - 2}$ ．

(1)、 $m = 3$ 时，求 $A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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