江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期数学教学质量调研试卷（一）

试卷更新日期：2021-11-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 2^{x} < 4}$ ， $N = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- \infty ， + \infty)$ B、 ${0 ， 1}$ C、M D、N

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2. 已知复数 $z$ 满足 $| z - 1 | = | z - i |$ ，则在复平面上 $z$ 对应点的轨迹为（）

A、直线 B、线段 C、圆 D、等腰三角形

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3. 若 $\cos (40^{\circ} - α) = \frac{3}{5}$ ，且 $90^{\circ} < α < 180^{\circ}$ ，则 $\cos (50^{\circ} + α) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比为 $\frac{1}{2}$ ，前6项的和为 $\frac{189}{4}$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、 $\frac{73}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $24$

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5. 开普勒 $(J \cdot K e p l e r ， 1571 \sim 1630)$ ，德国天文学家、数学家，他发现了八大行星与海王星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比，已知天王星离太阳的平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为 $10753 d$ ，则天王星的公转时间约为（）

A、 $3802 d$ B、 $30409 d$ C、 $60818 d$ D、 $91228 d$

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6. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ ，以 $A F$ 为直径的圆过点 $(0 ， 2)$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{8}{15}$

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7. 如图，已知 $O A = 2$ ， $O B = 3$ ， $O C = 1$ ， $∠ A O B = 60^{\circ}$ ， $∠ B O C = 90^{\circ}$ ，若 $\vec{O B} = x \vec{O A} + y \vec{O C}$ ，则 $\frac{x}{y} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知 $O$ 为坐标原点，过曲线 $C ：$ $y = \ln x (0 < x < 1)$ 上一点 $P$ 作 $C$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $A$ ，则 $△ A O P$ 面积取最大值时，点 $P$ 的纵坐标为（）

A、 $\frac{\pm \sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{- \sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $- e$

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二、多选题

9. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，它的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} > S_{9} > S_{7}$ ，则下列命题正确的是（）

A、公差 $d > 0$ B、 $a_{8} > 0$ C、 $a_{9} < 0$ D、 $S_{n}$ 取最大值时 $n = 8$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，下列命题正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的初相位为 $\frac{π}{3}$ B、若函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω = 2$ C、若 $ω = 1$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、若函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称，则 $ω$ 的最小值为1

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 作直线 $l ： y = - \frac{b}{a} x$ 的垂线交双曲线 $C$ 的右支于点 $M$ ，且 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，则（）

A、原点 $O$ 到直线 $M F_{1}$ 的距离为 $a$ B、双曲线的离心率为 $\sqrt{5}$ C、 $M F_{1} = 2 a$ D、双曲线 $C$ 的两条渐近线夹角余弦值为 $\frac{3}{5}$

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12. 已知函数 $y = f (x)$ 满足：对于任意实数 $x ， y \in R$ ，都有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) \cos y$ ，且 $f (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是周期函数 C、 $\forall x \in R ， | f (x) | \leq 1$ D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数

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三、填空题

13. 已知 $a = \log_{5} \frac{1}{3}$ ， $b = \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{2}$ ， $c = 2^{- 1}$ ，则按 $a$ ， $b$ ， $c$ 从小到大的顺序排列为.

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14. 求值： $\frac{\tan 39^{\circ} + \tan 81^{\circ} + \tan 240^{\circ}}{\tan 39^{\circ} \tan 81^{\circ}} =$ .

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15. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，设圆 $C$ 上的点 $P$ 在 $x$ 轴的上方，点A的坐标为 $(4 ， 0)$ ，直线 $A P$ 与圆 $C$ 的另一交点为 $Q$ ，且 $Q$ 为 $A P$ 的中点，则直线 $A P$ 的斜率为.

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x \leq a \\ x^{2} ， x > a \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) - k x (a ， k \in R)$ 的零点最多有个；若 $k = \frac{1}{2}$ 时，函数 $g (x)$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n + 1} = 2 + λ a_{n}$ ， $a_{1} = 1$ .

(1)、若 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列，求 $λ$ 的值；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，求 $a_{n}$ .

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18. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，点 $P$ 的坐标为 $(0 ， \sqrt{3})$ ，过 $P$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于点 $A ， B$ .

(1)、若直线 $l$ 又过 $C$ 的左焦点 $F$ ，求 $A F \cdot B F$ 的值；

(2)、若点 $M$ 的坐标为 $(0 ， - \frac{\sqrt{3}}{4})$ ，求证： $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值.

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19. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对应边分别为 $a ， b ， c$ ， $b = 2 ， B = 30^{\circ}$ .

(1)、若 $c = 1$ ，求 $\cos A$ ；

(2)、若 $a > c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3} - 1$ ，求a.

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20. 如图， $O A B$ 是一张三角形纸片， $∠ A O B = 90^{\circ}$ ， $O A = 1$ ， $O B = 2$ ，设 $l$ 与 $O A$ ， $A B$ 的交点分别为 $M$ ， $N$ ，将 $△ A O B$ 沿直线 $l$ 折叠后，使 $A$ 落在边 $O B$ 上的点 $A^{'}$ 处.

(1)、设 $O A^{'} = m$ ，试用 $m$ 表示点 $N$ 到 $O B$ 距离；

(2)、求点 $N$ 到 $O B$ 距离的最大值.

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21. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0 ， a = 2 b)$ 的右准线为 $x = 4$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点，过点 $P$ 作椭圆 $C$ 的切线 $l$ （ $l$ 与 $C$ 有且只有一个公共点）， $l$ 与直线 $x = 4$ 交于点 $Q$ .当 $P$ 在短轴端点时， $Δ P O Q$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若 $△ P O Q$ 面积为3，求点 $P$ 的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x \cos x - x$ ， $0 < x \leq \frac{π}{2}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，求证： $g (x) < 0$ ；

(2)、若 $f (x)$ 恰有两个零点，求 $a$ 的最小整数值.

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