江苏省南通、盐城、淮安、宿迁等地部分学校2021-2022学年高一上学期数学第一次大联考试卷

试卷更新日期：2021-11-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ， $A = {x \in R | - 1 < x \leq 4}$ ， $B = {x \in R | x < 2}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $[2 ， 4]$ C、 $(- 1 ， 2]$ D、 $(2 ， 4]$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $e$ B、-1 C、0 D、1

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3. ${(x + 1)}^{6}$ 的展开式中，第二项为（）

A、 $6 x$ B、 $15 x^{2}$ C、 $6 x^{5}$ D、 $15 x^{4}$

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4. 已知幂函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 的图象经过点 $(\frac{1}{2} ， 4)$ ，且 $f (a + 1) < f (3)$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 4) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- 4 ， 2)$

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5. 用符号[x]表示不超过x的最大整数（称为x的整数部分），如[﹣1.2]=﹣2，[0.2]=0，=1，设函数f（x）=（1﹣lnx）（lnx﹣ax）有三个不同的零点x₁ ， x₂ ， x₃ ，若[x₁]+[x₂]+[x₃]=6，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{\ln 3}{3} ， \frac{1}{e})$ C、 $[\frac{\ln 2}{2} ， \frac{1}{e})$ D、 $[\frac{\ln 2}{2} ， \frac{\ln 3}{3})$

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6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，也称取整函数，例如： $[- 3.7] = - 4$ ， $[2.3] = 2$ .已知 $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 ${0}$ B、 ${- 1$ ， $0}$ C、 ${- 2$ ， $- 1$ ， $0}$ D、 ${- 1$ ，0， $1}$

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7. 已知A、B是抛物线y²＝4x上异于原点O的两点，则“ $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ ＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（　　）

A、充分非必要条件 B、充要条件 C、必要非充分条件 D、非充分非必要条件

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8. 设集合 $S_{n} = {1 ， 2 ， 3 ， ... ， n}$ ，若 $A$ 是 $S_{n}$ 的子集，把 $A$ 中的所有数的和称为 $A$ 的“容量”（规定空集的容量为0），若 $A$ 的容量为奇（偶）数，则称 $A$ 为 $S_{n}$ 的奇（偶）子集，命题①： $S_{n}$ 的奇子集与偶子集个数相等；命题②：当 $n \geq 3$ 时， $S_{n}$ 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，则下列说法正确的是（）

A、命题①和命题②都成立 B、命题①和命题②都不成立 C、命题①成立，命题②不成立 D、命题①不成立，命题②成立

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二、多选题

9. 某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

A、 $a = 3$ B、注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C、注射该药物 $\frac{1}{8}$ 小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D、注射一次治疗该病的有效时间长度为 $5 \frac{31}{32}$ 时

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10. 若10^a＝4，10^b＝25，则（）

A、a+b＝2 B、b﹣a＝1 C、ab＞8lg²2 D、b﹣a＞lg6

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11. 设集合X是实数集R的子集，如果实数 $x_{0}$ 满足：对任意 $r > 0$ ，都存在 $x \in X$ ，使得 $0 < | x - x_{0} | < r$ 成立，那么称 $x_{0}$ 为集合X的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（）

A、 ${x | x = \frac{1}{n} ， n \neq 0 ， n \in Z}$ B、 ${x | x = \frac{n}{n + 1} ， n \in N^{*}}$ C、 ${x | x \in Q ， x \neq 0}$ D、整数集Z

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12. 关于 $x$ 的函数 $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2} - | x^{2} - 1 | + k$ ，给出下列四个命题，其中是真命题的为（）．

A、存在实数 $k$ ，使得函数恰有2个零点； B、存在实数 $k$ ，使得函数恰有4个零点； C、存在实数 $k$ ，使得函数恰有5个零点； D、存在实数 $k$ ，使得函数恰有8个零点；

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三、填空题

13. 已知集合A＝{﹣3，a² ， 1+a}，B＝{a﹣3，a²+1，2a﹣1}，若A∩B＝{﹣3}，则a＝．

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14. 已知函数 $f (x)$ 在R上可导，对任意x都有 $f (x) - f (- x) = 2 \sin x$ ，当 $x \leq 0$ 时， $f^{'} (x) < - 1$ ，若 $f (t) \leq f (\frac{π}{3} - t) + \sqrt{3} \sin (t - \frac{π}{6})$ ，则实数 $t$ 的取值范围为

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15. 长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间 $[0, 100]$ ；

（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；

（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．

记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：

① $y = - \frac{1}{20} x^{2} + 6 x$ ；② $y = 10 \sqrt{x}$ ；③ $y = 10^{\frac{x}{50}}$ ；④ $y = 100 \sin \frac{π}{200} x$ ．

则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是．

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 3 x ， x < 0 \\ x^{2} - 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) + 3 \sqrt{1 - x^{2}} + | f (x) - 3 \sqrt{1 - x^{2}} | - 2 a x - 6 = 0$ 有三个根，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} ， x_{2}$ 是 $x_{1}$ 和 $x_{3}$ 的等差中项，则a=.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x < 0}$ ， $B = {x | m + 1 ⩽ x ⩽ 3 m - 1}$ ， $C = {x \in Z | - 2 < x < 1}$ ．

(1)、写出集合 $C$ 的所有子集；

(2)、如果 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数f（x） $= \sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域是A，函数g（x）＝x²+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B.

(1)、分别求出定义域A与集合B；

(2)、设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}.若B∩C＝∅，求实数a的取值范围.

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19. 设函数 $f (x) = | 2 x - 7 | + a x + 1$ （ $a$ 为实数）.

(1)、若 $a = - 1$ ，解不等式 $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若当 $\frac{x}{1 - x} > 0$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 1$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (2^{x} + k) (k \in R)$ .

(1)、当 $k = - 4$ 时，解不等式 $f (x) > 2$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象过点 $P (0 ， 1)$ ，且关于 $x$ 的方程 $f (x) = x - 2 m$ 有实根，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 如图所示， $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，…， $P_{n} (x_{n} ， y_{n})$ ，…是曲线 $C ： y^{2} = \frac{1}{2} x$ （ $y \geq 0$ ）上的点， $A_{1} (a_{1} ， 0)$ ， $A_{2} (a_{2} ， 0)$ ，…， $A_{n} (a_{n} ， 0)$ ，…是x轴正半轴上的点，且 $△ A_{0} A_{1} P_{1}$ ， $△ A_{1} A_{2} P_{2}$ ，…， $△ A_{n - 1} A_{n} P_{n}$ ，…均为等腰直角三角形（ $A_{0}$ 为坐标原点）.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n} = \frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n + 2}} + \frac{1}{a_{n + 3}} + \dots + \frac{1}{a_{2 n}}$ ，求 $S_{n}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = (x - a) | x - b | + c$ ， $x \in R$ ．
（Ⅰ）当 $a = 1$ ， $b = 0$ 时，函数 $y = f (x)$ 有且只有两个零点，求c的取值范围．

（Ⅱ）若 $a = 0$ ， $c < 0$ ，且对任意 $x \in [0 ， 1]$ ，不等式 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $b + 2 c$ 的最大值．

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