湖北省黄石市2021-2022学年高一上学期数学10月调研考试试卷

试卷更新日期：2021-11-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，集合 $Q = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则P与Q的关系是（）

A、 $P = Q$ B、 $P \subseteq Q$ C、 $Q \subseteq P$ D、 $P \cap Q = \emptyset$

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2. 已知全集 $U = Z$ ，集合 $A = {- 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {3 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 $\emptyset$

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3. 命题“ $\forall x \in R ，$ 都有 $x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、不存在 $x \in R ， x^{2} + x + 1 > 0$ B、存在 $x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + x_{0} + 1 > 0$ C、存在 $x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + x_{0} + 1 \leq 0$ D、对任意的 $x \in R ， x^{2} + x + 1 \leq 0$

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4. 若 $α, β$ 满足 $- \frac{π}{2} < α < β < \frac{π}{2}$ ，则 $α - β$ 的取值范围是（）

A、 $- π < α - β < π$ B、 $- π < α - β < 0$ C、 $- \frac{π}{2} < α - β < \frac{π}{2}$ D、 $- \frac{π}{2} < α - β < 0$

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5. 已知集合 $P = {x | x = 2 k ， k \in Z} ， Q = {x | x = 2 k + 1 ， k \in Z} ， M = {x | x = 4 k + 1 ， k \in Z}$ ，且 $a \in P ， b \in Q$ ，则（）

A、 $a + b \in P$ B、 $a + b \in Q$ C、 $a + b \in M$ D、 $a + b$ 不属于 $P ， Q ， M$ 中的任意一个

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6. 已知命题“存在 $x \in {x | - 2 < x < 3}$ ，使得等式 $2 x - m = 0$ 成立”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 4] \cup (6 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 4) \cup (6 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 4) \cup [6 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 4] \cup [6 ， + \infty)$

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7. 实数a ， b满足 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 6$ ，则 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 1}$ 的最小值是（）

A、4 B、6 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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8. 已知函数 $f (\frac{1 - x}{1 + x}) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}} (x \neq - 1)$ B、 $f (x) = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} (x \neq - 1)$ C、 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}} (x \neq - 1)$ D、 $f (x) = - \frac{x}{1 + x^{2}} (x \neq - 1)$

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二、多选题

9. 下列命题中，真命题为（）

A、空集是任何一个非空集合的真子集 B、∀x∈R ， $4 x^{2} > 2 x - 1 + 3 x^{2}$ C、∃x∈{-2，-1，0，1，2}，|x-2|<2 D、∀a ， b∈R ，方程ax+b=0恰有一解

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10. 下列命题中为真命题的是（）

A、“ $a - b = 0$ ”的充要条件是“ $\frac{a}{b} = 1$ ” B、“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的既不充分也不必要条件 C、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2^{x} < 0$ ”的否定是“ $\forall x \notin R$ ， $x^{2} - 2^{x} \geq 0$ ” D、“ $a > 2$ ， $b > 2$ ”是“ $a b > 4$ ”的充分条件

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11. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，称为狄利克雷函数，则关于函数 $f (x)$ 有（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象是两条直线 B、 $f (f (x)) = 1$ C、 $f (\sqrt{3}) > f (1)$ D、 $\forall x \in R$ ，都有 $f (1 - x) = f (2 + x)$

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12. 下列结论错误的是（）

A、不存在实数a使得关于x的不等式 $a x^{2} + x + 1 \geq 0$ 的解集为 $\emptyset$ B、不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 在R上恒成立的必要条件是 $a < 0$ 且 $Δ = b^{2} - 4 a c \leq 0$ C、若函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 对应的方程没有实根，则不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为R D、不等式 $\frac{1}{x} > 1$ 的解集为 $x < 1$

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三、填空题

13. 若 $- 1 < x < 1$ ，则 $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{2 x - 2}$ 的最大值是.

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 2]$ ，函数 $g (x) = \frac{f (x - 1)}{\sqrt{2 x - 1}}$ ，则 $g (x)$ 的定义域为.

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15. 若集合 ${a, b, c, d} = {1, 2, 3, 4},$ 且下列四个关系：① $a = 1$ ；② $b \neq 1$ ；③ $c = 2$ ；④ $d \neq 4$ 中有且只有一个是正确的，则符合条件的所有有序数组 $(a, b, c, d)$ 的个数是．

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16. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有人.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 3 < x + 1 < 3}$ ，集合B为整数集，令 $C = A \cap B$ .

(1)、求集合C；

(2)、若集合 $D = {1 ， a}$ ， $C \cup D = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 3}$ ，求实数a的值.

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18. 已知全集为R ，集合 $P = {x | 2 \leq x \leq 10}$ ，集合 $M = {x | x < a$ 或 $x > 2 a + 1} (a > 0)$ .

(1)、若 $x \in P$ 是 $x \in M$ 成立的充分不必要条件，求a的取值范围；

(2)、若 $P \cap (∁_{R} M) \neq \emptyset$ ，求a的取值范围.

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19. 解关于x的不等式： $\frac{2 x - a - 2}{x - 2} \leq 1 (a \in R)$ .

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20. 已知关于x的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < b$ 或 $x > 2}$ .

(1)、求a ， b的值；

(2)、当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $4 x + y \geq k^{2} - 8 k$ 恒成立，求k的取值范围.

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21. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 $x (x \in N^{*})$ 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为 $10 (a - \frac{3 x}{500})$ 万元 $(a > 0)$ ，剩下员工平均每人每年创造的利润可以提高0.5x%.

(1)、若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

(2)、若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ 满足：①对任意实数x ，都有 $f (x) \geq x$ ；②当 $x \in (0 ， 2)$ 时，有 $f (x) \leq \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2}$ 成立.

(1)、求证： $f (1) = 1$ ；

(2)、若 $f (- 1) = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、在（2）的条件下，若对任意的实数 $x \in [0 ， + \infty)$ ，有 $f (x) - m x \geq \frac{1}{4}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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