湖北省东南新高考联盟2021-2022学年高一上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-11-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 判断下列元素的全体是否能组成集合：①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③ $π$ 的近似值；④不大于5的自然数（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 7 x + 12 = 0}$ ， $B = {x \in Z | 1 < x < 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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3. 已知命题p： $\exists x \in Q$ ，使得 $x \notin N$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \notin Q$ ，使得 $x \notin N$ B、 $\exists x \notin Q$ ，使得 $x \in N$ C、 $\forall x \in Q$ ，使得 $x \in N$ D、 $\exists x \in Q$ ，使得 $x \in N$

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4. “ $a = 0$ 或 $b = 0$ ”的充要条件是（）

A、 $a^{2} + b^{2} = 0$ B、 $\frac{a}{b} = 0$ C、 $a b = 0$ D、 $a + b = 0$

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5. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | - 3 < x < 3}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | - 3 < x < - 2$ 或 $2 < x < 3}$ B、 ${x | - 3 \leq x < - 2$ 或 $2 < x \leq 3}$ C、 ${x | - 3 \leq x \leq - 2$ 或 $2 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | - 3 < x \leq - 2$ 或 $2 \leq x < 3}$

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6. 已知下列命题：①若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ；②若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c < b d$ ；③若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ ；④若 $a < b < 0$ ，则 $b^{2} < a b$ ；其中为真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 若 $\exists x \in [- 1 ， 2]$ 使得不等式 $2 x^{2} - x + 2 - a > 0$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $a < 8$ B、 $a < 5$ C、 $a < 2$ D、 $a < \frac{15}{8}$

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8. 已知两正实数a，b满足 $a + b = 3$ ，则 $\frac{2 a + 4}{a + 1} + \frac{b + 4}{b + 2}$ 的最小值为（）

A、7 B、 $\frac{13}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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二、多选题

9. 定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合 $B = {1 ， 2 ， 3}$ 的孙子集的是（）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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10. 以下各选项中，p是q的充分不必要条件的是（）

A、p：某四边形是菱形q：某四边形对角线相互垂直 B、p： $x y > 0$ q： $x > 0$ 且 $y > 0$ C、p： $x > y > 0$ q： $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ D、p： $x \in A \cap B$ q： $x \in A \cup B$

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11. 下列命题为真命题的是（）

A、集合 ${x | x^{2} + 2 x + 1 = 0}$ 有两个子集 B、若 $a \in N$ ，则 $- a \notin N$ C、集合 ${x \in Q | \frac{12}{x} \in N}$ 里面有6个元素 D、平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为 ${(x ， y) | x y < 0}$

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12. 下列说法正确的是（）

A、周长相等的正方形和等边三角形，正方形的面积更大 B、周长相等的等边三角形和圆，等边三角形的面积更大 C、面积相等的等边三角形和正方形，等边三角形周长更小 D、面积相等的正方形和圆，圆的周长更小

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {x | x < \sqrt{2} + \sqrt{5}}$ ，则 $2 + \sqrt{3}$ A（填 $\in$ 或 $\notin$ ）.

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14. 已知实数x，y满足： $- 1 < x < 3$ ， $1 < y < 2$ ，则 $2 x - y$ 的取值范围为.

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15. 已知 $x < \frac{2}{3}$ ，则 $3 x + \frac{2}{3 x - 2}$ 的最大值为.

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16. 今年中秋节，某班班主任准备给班上60名孩子买爱心月饼，月饼有水果和豆沙两种口味.经调查，该班喜欢水果口味的有45人，喜欢豆沙口味的有28人，两种口味都喜欢的人数比两种口味都不喜欢的人数的4倍少2人，问只喜欢豆沙口味的有人.

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四、解答题

17. 已知全集 $U = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {y | y = | x | ， x \in U}$ ，集合 $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ .

(1)、求 $A \cap B$ 和 $A \cup B$ ；

(2)、求 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ .

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18. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 5}$ ，集合 $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ .

(1)、若 $B \subseteq A$ ，求实数m的取值范围；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数m的取值范围.

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19.

(1)、若 $a > b > - 1$ ，比较 $\frac{1}{a + 1}$ 与 $\frac{1}{b + 1}$ 的大小；

(2)、已知x，y，z是不全相等的正实数，求证： $(x + y) (y + z) (z + x) > 8 x y z$ .

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20. 如图所示，某人计划靠墙用篱笆围起一个矩形花园种花，墙的长度足够长.设花园的长为x米，宽为y米.

(1)、若已知篱笆的长度为40米，问如何设计长和宽才能使得花园的面积最大，最大为多少？

(2)、若已知花园的面积为50平方米，问如何设计长和宽才能使篱笆的总长度最短，最短为多少？

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21.

(1)、设集合 $A = {a + 4 ， | a | ， a^{2} - 2 a}$ ，若 $3 \in A$ ，求a的值；

(2)、设集合 $M = {- 1 ， \frac{1}{2} ， 2}$ ，集合 $N = {x | a x^{2} - a x + 1 = 0}$ ，若 $N \subseteq M$ ，求a的取值范围.

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22.

(1)、已知全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合N是U的子集，且N既不是A的子集也不是B的子集，请问集合N有多少种可能情况？

(2)、一般地，已知全集 $U = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n}}$ 中有n个元素，集合A、B都是U的子集，且满足以下条件：① $A \cup B = U$ ，②集合A中有i个元素，集合B中有j个元素，③ $A \cap B$ 中有k个元素（i，j， $k \in N_{+}$ ），若存在集合N是U的子集，但不是A的子集，也不是B的子集，请问这样的集合N有多少种情况？

(3)、更进一步，已知全集 $U = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n}}$ 中有n个元素，集合A、B、C都是U的子集，且满足以下条件：① $A \cup B \cup C = U$ ；②集合A中有e个元素，集合B中有f个元素，集合C中有g个元素；③ $A \cap B$ 中有h个元素， $B \cap C$ 中有i个元素， $A \cap C$ 中有j个元素， $A \cap B \cap C$ 中有k个元素（以上涉及数量的字母均为正整数），若存在集合N是U的子集，但不是A的子集，也不是B的子集，也不是C的子集，请问这样的集合N有多少种情况？

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