山东省济宁市嘉祥县2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-11-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，点 $G (- 2 ， 1)$ 关于原点的对称点 $G^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（）

A、圆 B、菱形 C、矩形 D、等边三角形

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3. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（）

A、16（1﹣x）²＝9 B、9（1+x）²＝16 C、16（1﹣2x）＝9 D、9（1+2x）＝16

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4. 如图， $P A$ 、 $P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于 $A$ 、 $B$ ， $∠ P = 70 °$ ， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $110 °$ B、 $120 °$ C、 $125 °$ D、 $130 °$

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5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ B、 $a \leq \frac{1}{4}$ C、 $a < \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ D、 $a < \frac{1}{4}$

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6. 将抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(0 ， 6)$ D、 $(1 ， - 3)$

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7. 已知(﹣3， $y_{1}$ )，(﹣2， $y_{2}$ )，(1， $y_{3}$ )是抛物线 $y = - 3 x^{2} - 12 x + m$ 上的点，则（）

A、 $y_{3}$ $<$ $y_{2}$ $<$ $y_{1}$ B、 $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ $<$ $y_{2}$ C、 $y_{2}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ D、 $y_{1}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{2}$

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8. 在 $⊙ O$ 中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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9. 在解一元二次方程x²+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）

A、x²+2x﹣3＝0 B、x²+2x﹣20＝0 C、x²﹣2x﹣20＝0 D、x²﹣2x﹣3＝0

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + c > b$ ；④ $8 a + c < 0$ ，正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题

11. 抛物线 $y = 2 {(x + 5)}^{2} - 3$ 的顶点坐标为．

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12. 如图， $A B$ 为半圆O的直径， $O C ⊥ A B ， O D$ 平分 $∠ B O C$ ，交半圆于点 $D ，$ $A D$ 交 $O C$ 于点E，则 $∠ A E O$ 的度数是 $°$ .

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13. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x²﹣4x+5有最大值m，则m＝.

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14. 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为．

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15. 如图，抛物线 $L_{1} ： y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴只有一个公共点 $A (1 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， 2)$ ，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 $L_{2}$ ，则图中两个阴影部分的面积和为．

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三、解答题

16.

(1)、解方程： $3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ．

(2)、解方程： $x (x - 7) = 8 (7 - x)$ ．

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．

⑴把 $△ A B C$ 向左平移4个单位后得到对应的 $△$ A₁B₁C₁ ，请画出平移后的 $△$ A₁B₁C₁；

⑵把 $△ A B C$ 绕原点O旋转180°后得到对应的 $△$ A₂B₂C₂ ，请画出旋转后的 $△$ A₂B₂C₂；

⑶观察图形可知， $△$ A₁B₁C₁与 $△$ A₂B₂C₂关于点（　 ▲ 　，　 ▲ 　）中心对称．

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18. 若直角三角形的两边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两根，求该直角三角形的面积．

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19. 如图，有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD，长120cm，宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等（AE=BF），另外一边是AE的 $\frac{3}{2}$ 倍(即CD与MN之间的距离).求这块台布的长和宽.

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20. $2022$ 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截而示意图，取某一位置的水平线为 $x$ 轴，过跳台终点 $A$ 作水平线的垂线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线 $C_{1} ： y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{7}{6} x + 1$ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 $O$ 正上方 $4$ 米处的 $A$ 点滑出，滑出后沿一段抛物线 $C_{2} ： y = - \frac{1}{8} x^{2} + b x + c$ 运动．

(1)、当运动员运动到离 $A$ 处的水平距离为 $4$ 米时，离水平线的高度为 $8$ 米，求抛物线 $C_{2}$ 的函数解析式（不要求写出自变量 $x$ 的取值范围）；

(2)、在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为 $1$ 米？

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21. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D ， $D F ⊥ A B$ 于点F ，连接OF ，且 $A F = 1$ ．

(1)、求证：DF是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求线段OF的长度．

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22. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6$ 与 $x$ 轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C， $O A = 2$ ， $O B = 4$ ，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接 $A D$ ， $B D$ ， $B C$ ， $C D$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若点D在x轴的下方，当 $△ B C D$ 的面积是 $\frac{9}{2}$ 时，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以 $B D$ 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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