河北省唐山市路北区2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-11-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $(a - 2) x^{2} + 3 x = 1$ 是一元二次方程，则有（）

A、 $a \neq - 2$ B、a≠0 C、 $a = 2$ D、 $a \neq 2$

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2. 一元二次方程 $x^{2} - x = 0$ 的根是（）

A、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 1$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ D、 $x_{1} = x_{2} = 1$

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3. 抛物线 $y = 5 {(x + 2)}^{2} - 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 3)$ D、 $(- 2 ， - 3)$

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4. 一元二次方程 $(x + 3) (x - 1) = 2 x - 4$ 化为一般形式是（）

A、 $x^{2} - 1 = 0$ B、 $x^{2} - 7 = 0$ C、 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ D、 $x^{2} + 1 = 0$

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5. 关于方程x²﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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6. 抛物线 $y = - x^{2} + 2 x - 7$ 与y轴的交点坐标为（）

A、（ $7$ ， $0$ ） B、（ $- 7$ ，0） C、（ $0$ ， $7$ ） D、（ $0$ ， $- 7$ ）

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7. 在平面直角坐标系中，将函数y＝－x²的图像先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图像的函数表达式是（）

A、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 5$ B、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 5$ C、 $y = - {(x + 1)}^{2} - 5$ D、 $y = - {(x - 1)}^{2} - 5$

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8. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象，则 $a x^{2} + b x + c + 4 = 0$ 的解的情况为（）

A、有唯一解 B、有两个解 C、无解 D、无法确定

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9. 已知函数 $y = a x^{2} + 2 a x - 1 (a$ 是常数， $a \neq 0)$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，函数图象过点 $(- 1, 1)$ B、当 $a = - 2$ 时，函数图象与x轴没有交点 C、若 $a > 0$ ，则当 $x \geq - 1$ 时，y随x的增大而减小 D、若 $a < 0$ ，则当 $x \leq - 1$ 时，y随x的增大而增大

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10. 点A（0，y₁），B（5，y₂）在二次函数y＝x²﹣4x+c的图象上，y₁与y₂的大小关系是（　　）

A、y₁＞y₂ B、y₁＝y₂ C、y₁＜y₂ D、无法比较

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11. 一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（）

A、6dm B、5dm C、4dm D、3dm

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12. 在⊙O中按如下步骤作图：
⑴作⊙O的直径AD；

⑵以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B ， C两点；

⑶连接DB ， DC ， AB ， AC ， BC ．

根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（　　）

A、∠ABD＝90° B、∠BAD＝∠CBD C、AD⊥BC D、AC＝2CD

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13. 如图， MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $5$ D、 $3$

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14. 如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）

A、 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ C、4 D、3

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二、填空题

15. 若关于x的一元二次方程x²+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为．

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16. 如图， $A D$ 为 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径，如果 $∠ B A D = 50 °$ ，那么 $∠ A C B =$ ．

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17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 与直线 $y = m x + n$ 相交于点 $A (- 3 ， - 6)$ ， $B (1 ， - 2)$ ，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x = m x + n$ 的解为 .

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18. 已知二次函数y＝﹣（x﹣a）²＋a＋2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是．抛物线与y轴交点为C ，当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为．

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三、解答题

19.

(1)、 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ （公式法）

(2)、 ${(x + 1)}^{2} = 2 x + 2$ （因式分解法）

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20. 已知抛物线y＝x²＋bx＋c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．

(1)、求抛物线解析式；

(2)、试判断该二次函数的图象是否经过点（1，2）．

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + m + 2 = 0$ .

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.

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22. 张师傅今年初开了一家药店，二月份开始盈利，二月份的盈利是6000元，四月份的盈利达到8640元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．

(1)、求每月盈利的平均增长率；

(2)、按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？

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23. 已知二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ ．

(1)、将二次函数化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、在平面直角坐标系中画出 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ 的图象；

(3)、结合函数图象，直接写出 $y > 0$ 时x的取值范围．

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24. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E ，且E是CD的中点．

(1)、求证：∠ADC＝∠BDO；

(2)、若CD＝ $4 \sqrt{2}$ ，AE＝2，求⊙O的半径．

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25. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.

(1)、若苗圃园的面积为72平方米，求x；

(2)、若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

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26. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

图① 图② 图③

(1)、（问题）
如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)²-4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ，点A的坐标为．

(2)、（操作）
将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：．

(3)、（探究）
在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是．

(4)、（应用）结合上面的操作与探究，继续思考：
如图③，若抛物线y=(x-h)²-4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．

①求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）

②当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围．

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