北京市海淀区2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-11-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 方程 $x^{2} - 6 x - 1 = 0$ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A、1， $- 6$ ， $- 1$ B、1，6，1 C、0， $- 6$ ，1 D、0，6， $- 1$

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2. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 将抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（）

A、 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 1$ B、 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 1$ C、 $y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}$ D、 $y = \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2}$

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4. 用配方法解方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ，下列变形正确的是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = - 2$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 1)}^{2} = - 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 4$

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5. 如图， $A B$ 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 $∠ A B C = 50 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数为（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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6. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将 $△ M N P$ 旋转，得到 $△ M_{1} N_{1} P_{1}$ ，则旋转中心是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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7. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ ，其中 $a b < 0$ ， $c > 0$ ．下列说法正确的是（）

A、该抛物线经过原点 B、该抛物线的对称轴在y轴左侧 C、该抛物线的顶点可能在第一象限 D、该抛物线与x轴必有公共点

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $B C = 10$ ．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边 $A C$ 向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿 $C B$ 向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y， $△ M C N$ 的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）

A、正比例函数关系，一次函数关系 B、正比例函数关系，二次函数关系 C、一次函数关系，正比例函数关系 D、一次函数关系，二次函数关系

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二、填空题

9. 若点 $A (5 ， 5)$ 与点B关于原点对称，则点B的坐标为．

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10. 若点 $(0 ， a)$ ， $(3 ， b)$ 都在二次函数 $y = {(x - 1)}^{2}$ 的图象上，则a与b的大小关系是：ab（填“>”，“<”或“=”）．

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ．以点A为中心，将矩形 $A B C D$ 旋转得到矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ，使得点 $B^{'}$ 落在边 $A D$ 上，此时 $D B^{'}$ 的长为．

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，与x轴的一个交点为 $(1 ， 0)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为．

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13. 如图，C ， D为AB的三等分点，分别以C ， D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E ， F ，连接EF ．若AB=9，则EF的长为．

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14. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为.

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15. 数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接 $A B$ ，再作出 $A B$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于点C，交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点D，测出 $A B$ ， $C D$ 的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出 $A B = 4$ cm， $C D = 1$ cm，则轮子的半径为 cm．

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16. 已知 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 为抛物线 $y = a x^{2}$ （ $a \neq 0$ ）上任意两点，其中 $0 \leq x_{1} < x_{2}$ ．若对于 $x_{2} - x_{1} = 1$ ，都有 $| y_{2} - y_{1} | \geq 1$ ，则a的取值范围是．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 8 x - 9 = 0$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点D在边 $A C$ 上，以 $C D$ 为边作等边△ $C D E$ ．连接 $B D$ ， $A E$ ．求证： $B D = A E$ ．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = x^{2} + p x + q$ 的图象经过点 $A (0 ， - 2)$ ， $B (2 ， 0)$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式 $k x + b > x^{2} + p x + q$ 的解集．

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20. 如图，A，B是⊙O上的两点，C是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点．求证： $∠ A = ∠ B$ ．

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21. 已知：A，B是直线l上的两点．求作： $△ A B C$ ，使得点C在直线l上方，且 $∠ A C B = 150 °$ ．

作法：

①分别以A，B为圆心， $A B$ 长为半径画弧，在直线l下方交于点O；

②以点O为圆心， $O A$ 长为半径画圆；

③在劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上任取一点C（不与A，B重合），连接 $A C$ ， $B C$ ．

$△ A B C$ 就是所求作的三角形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：在优弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上任取一点M（不与A，B重合），连接 $A M$ ， $B M$ ， $O A$ ， $O B$ ．

∵ $O A = O B = A B$ ，

∴ $△ O A B$ 是等边三角形．

∴ $∠ A O B = 60 °$ ．

∵A，B，M在⊙ $O$ 上，

∴ $∠ A M B = \frac{1}{2} ∠ A O B$ （）（填推理的依据）．

∴ $∠ A M B = 30 °$ ．

∵四边形 $A C B M$ 内接于⊙O，

∴ $∠ A M B + ∠ A C B = 180 °$ （）（填推理的依据）．

∴ $∠ A C B = 150 °$ ．

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22. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．

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23. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．

(1)、在图中画出铅球运动路径的示意图；

(2)、根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；

(3)、若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离 $O C$ 的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．

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24. 关于x的一元二次方程

x^{2} + b x + c = 0

经过适当变形，可以写成

(x - m) (x - n) = p

（

m \leq n

）的形式．现列表探究

x^{2} - 4 x - 3 = 0

的变形：

变形	m	n	p
$(x + 1) (x - 5) = - 2$	$- 1$	5	$- 2$
$x (x - 4) = 3$	0	4	3
$(x - 1) (x - t) = 6$	1	t	6
${(x - 2)}^{2} = 7$	2	2	7

回答下列问题：

(1)、表格中t的值为；

(2)、观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为；

(3)、记

x^{2} + b x + c = 0

的两个变形为

(x - m_{1}) (x - n_{1}) = p_{1}

和

(x - m_{2}) (x - n_{2}) = p_{2}

（

p_{1} \neq p {}_{2}

），则

\frac{n_{1} - n_{2}}{m_{1} - m_{2}}

的值为．

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25. 如图， $A B$ 为⊙O的直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 交于点E， $∠ C = 75 °$ ， $∠ D = 45 °$ ．

(1)、求 $∠ A E C$ 的度数；

(2)、若 $A C = 12$ ，求 $C D$ 的长．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）经过点 $A (1 ， - 1)$ ，与y轴交于点B．

(1)、直接写出点B的坐标；

(2)、点 $P (m ， n)$ 是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最大值N．
①若 $N = 2$ ，求抛物线的表达式；

②若 $- 9 < a < - 2$ ，结合函数图象，直接写出N的取值范围．

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27. 如图，已知 $∠ M O N = α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ）， $O P$ 是 $∠ M O N$ 的平分线，A，B分别在 $O P$ ， $O M$ 上，且 $A B$ ∥ $O N$ ．以点A为中心，将线段 $A O$ 旋转到 $A C$ 处，使点O的对应点C恰好在射线 $B M$ 上，在射线 $O N$ 上取一点D，使得 $∠ B A D = 180 ° - α$ ．

(1)、①依题意补全图；
②求证： $O C$ ＝ $O D$ ＋ $A D$ ；

(2)、连接 $C D$ ，若 $C D = O D$ ，求α 的度数，并直接写出 $\frac{A D}{O D}$ 的值．

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28. 在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P ， Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点 $P^{'}$ ， $x$ 轴正半轴上存在点 $Q^{'}$ ，使 $P P^{'} / / Q Q^{'}$ ，且 $∠ 1 = ∠ 2 = α$ （如图1），则称点P与点Q为 $α$ －关联点．

(1)、在点 $Q_{1} (3 ， 1)$ ， $Q_{2} (5 ， 2)$ 中，与 $(1 ， 3)$ 为45°－关联点的是；

(2)、如图2， $M (6 ， 4)$ ， $N (8 ， 4)$ ， $P (m ， 8)$ $(m > 1)$ ．若线段 $M N$ 上存在点Q，使点P与点Q为45°－关联点，结合图象，求m的取值范围；

(3)、已知点 $A (1 ， 8)$ ， $B (n ， 6)$ $(n > 1)$ ．若线段 $A B$ 上至少存在一对30°－关联点，直接写出n的取值范围．

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