上海市浦东新区2021-2022学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-11-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ B、 $\sqrt{5.5}$ C、 $\sqrt{3 b + 1}$ D、 $\sqrt{24}$

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2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）

A、 $\frac{1}{3} \sqrt{8}$ 和 $5 \sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{a}$ 和 $\sqrt{\frac{a}{2}}$ C、 $\sqrt{2 a}$ 和 $\sqrt{2 a^{2}}$ D、 $\sqrt{8}$ 和 $\sqrt{2}$

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3. 在下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} - 2 x - 1 = 0$ B、 $x^{2} = - 1$ C、 $(x + 2) (x - 2) - x^{2} = 0$ D、 $2 x^{2} - \frac{1}{x} - 3 = 0$

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4. 关于x的一元二次方程 $2 a x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则x的取值范围是（）

A、 $a < - 2$ B、 $- 2 < a < 2$ C、 $a > - 2$ 且 $a \neq 0$ D、 $a > - 2$ 或 $a \neq 2$

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5. 下列命题中，真命题是（）

A、全等三角形的对应边相等 B、等腰三角形的对称轴是底边上的高 C、两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等 D、同位角相等

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二、填空题

6. 使 $\sqrt{(2 - x) (x + 1)} = \sqrt{2 - x} \cdot \sqrt{x + 1}$ 成立的条件是．

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7. 化简： $\sqrt{24 x^{3} y^{4}} =$ ．

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8. 计算： $\sqrt{m - 3} \cdot \sqrt{3 - m} =$ ．

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9. 分母有理化: $\frac{1}{\sqrt{3} + 2}$ =.

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10. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + x + a^{2} + 3 a = 0$ 有一个根为0，则a的值为．

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11. 当 $x =$ 时，代数式 $x^{2} + 4 x$ 的值等于 $- 3$ ．

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12. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (a + 2) x + a - 2 b = 0$ 的判别式等于 $0$ ，且 $x = \frac{1}{2}$ 是方程的根，则 $a + b$ 的值为．

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13. 某种药品原价是5元，降价两次后，现价是4.05元，则平均每次降价率是．

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14. 命题“等角对等边”改成“如果……，那么……”的形式：

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15. 如图， $A B = A C$ ，D是 $B C$ 上一点，当或时， $A D ⊥ B C$ ．

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16. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6 x + n = 0$ 的两个根，则 $n$ 的值为．

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17. 在实数范围内因式分解： $2 x^{2} - 3 x - 1 =$ ．

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三、解答题

18. 计算：﹣ $\frac{4}{3} \sqrt{18}$ ÷（2 $\sqrt{8} \times \frac{1}{3} \sqrt{54}$ ）

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19. 计算： $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

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20. 解方程： $(x + 2) (x - 3) = 6$

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21. 解方程： $3 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .

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22. 要使关于x的方程 $a x^{2} - 4 (a - 1) x + 4 a = 0$ 有实数根，整数a取得的最大值是多少？

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23. 如图，点D、E、F在 $B C$ 上， $∠ B = ∠ C$ ， $∠ B A D = ∠ C A E$ ， $B D = E C$ ，F是 $D E$ 的中点．求证： $A F ⊥ B C$ ．

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24. 将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为8000元，售价应该定为多少元？

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E / / A C$ ，过点E作 $E F ⊥ A D$ 于点O，交 $B C$ 的延长线于F，联结 $A F$ ，求证： $A F = D F$ ．

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26. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 45 °$ ， $A B = a$ ，在线段 $A C$ 上有动点M，在射线 $C B$ 上有动点N，且 $A M = B N$ ，联结 $M N$ 交 $A B$ 于点P．

(1)、当点M在边 $A C$ （与点A、C不重合）上，线段 $P M$ 与线段 $P N$ 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．

(2)、过点M作边 $A B$ 的垂线，垂足为点Q，随着M、N两点的移动，线段 $P Q$ 的长能确定吗？若能确定，请求出 $P Q$ 的长；若不能确定，请说明理由．

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