山东省临沂市费县2021-2022学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-11-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，

PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）.

A、5m B、15m C、20m D、28m

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3. 小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）

A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短 C、两点确定一条直线 D、垂线段最短

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5. 将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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6. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 如图，已知 $△ A B C$ 的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和 $△ A B C$ 全等的图形是（）

A、甲和乙 B、乙和丙 C、只有乙 D、只有丙

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8. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等的知识，说明画 $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = ∠ A O B$ 的依据是（）

A、 $S A S$ B、 $A S A$ C、 $A A S$ D、 $S S S$

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9. 如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AE＝AF；④∠ADE＝∠ADF，其中正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 平面直角坐标系中点（-2，1）关于x轴的对称点的坐标为（）

A、(-2，-1 ) B、(2，1) C、(-1，2) D、(1，-2)

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11. 如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$ 的度数为（）

A、 $90 °$ B、 $120 °$ C、 $180 °$ D、无法确定

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12. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于P点． $A B = 5$ cm ， $B C = 3$ cm ，则 $Δ P B C$ 的周长为（）

A、5cm B、6cm C、8cm D、无法确定

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13. 如图， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ． $A D ⊥ C E$ ， $B E ⊥ C E$ ，垂足分别是点D、E， $A D = 3$ cm， $B E = 1$ cm，则 $D E$ 的长是（）

A、1.5cm B、2cm C、2.5cm D、3cm

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14. 如图，将一张三角形纸片 $A B C$ 的一角折叠，使点 $A$ 落在 $Δ A B C$ 处的 $A'$ 处，折痕为 $D E$ .如果 $∠ A = α$ ， $∠ C E A' = β$ ， $∠ B D A' = γ$ ，那么下列式子中正确的是（）

A、 $γ = 2 α + β$ B、 $γ = α + 2 β$ C、 $γ = α + β$ D、 $γ = 180^{\circ} - α - β$

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二、填空题

15. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为．

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16. 如图， $B E$ 、 $C F$ 都是 $Δ A B C$ 的角平分线，且 $∠ B D C = 130 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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17. 一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数为．

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18. 如果点P（4，－5）和点Q（ａ，ｂ）关于y轴对称，则ａ＋ｂ＝.

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19. 如图，点P关于 $O A$ 、 $O B$ 的对称点分别是 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，线段 $P_{1} P_{2}$ 分别交 $O A$ 、 $O B$ 于D、 $C$ ， $P_{1} P_{2} = 8$ cm，则 $Δ P C D$ 的周长为 cm．

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20. 如图， $A B / / C D$ ， $∠ B A C$ 、 $∠ A C D$ 的平分线交于点O， $O E ⊥ A C$ 于E，且 $O E = 3$ cm，则直线 $A B$ 与 $C D$ 的距离为cm．

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21. 在数学活动中，小明为了求 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ 的值（结果用 $n$ 表示），设计了如图所示的若干个等腰直角三角形，三角形的面积如图所示．请你利用这个几何图形求 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots + \frac{1}{2^{n}} =$ ．

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三、解答题

22. 如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边的中点， $D E ⊥ A B$ 于点E ， $D F ⊥ A C$ 于点F ，且 $B E = C F$ ．

求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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24. 如图，点B为 $A C$ 上一点， $A D // C E$ ， $∠ A D B = ∠ C B E$ ， $B D = E B$ ．求证： $A C = A D + C E$

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25. 如图， $Δ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (3 ， 4)$ ．

①画出 $Δ A B C$ 关于y轴对称的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出各点的坐标； $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$

②画出 $Δ A B C$ 关于直线 $y = - 1$ 对称的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出各点的坐标； $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ ．

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26. 阅读下列材料：
阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在 $Δ A B C$ 中 $A B = A C$ ， $B D$ 是 $Δ A B C$ 的高，P是 $B C$ 边上一点， $P M$ 、 $P N$ 分别与直线 $A B$ ， $A C$ 垂直，垂足分别为点M、N．

求证： $B D = P M + P N$ ．

阳阳发现，连接 $A P$ ，有 $S_{Δ A B C} = S_{Δ A B P} + S_{Δ A C P}$ ，即 $\frac{1}{2} A C \cdot B D = \frac{1}{2} A B \cdot P M + \frac{1}{2} A C \cdot P N$ ．由 $A B = A C$ ，可得 $B D = P M + P N$ ．

他又画出了当点P在 $C B$ 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时 $B D$ 、 $P M$ 、 $P N$ 之间的数量关系是： $B D = P N - P M$ ．

请回答：

(1)、请补全阳阳同学证明猜想的过程；
证明：连接 $A P$ ． $∵ S_{Δ A B C} = S_{Δ A P C} -$ ，

$∴ \frac{1}{2} A C \cdot B D = \frac{1}{2} A C \cdot$ $- \frac{1}{2} A B \cdot$ ．

$∵ A B = A C$ ， $∴ B D = P N - P M$ ．

(2)、参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：
在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = B C$ ， $B D$ 是 $Δ A B C$ 的高． $P$ 是 $Δ A B C$ 所在平面上一点， $P M$ 、 $P N$ 、 $P Q$ 分别与直线 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 垂直，垂足分别为点M、N、Q．

①如图3，若点P在 $Δ A B C$ 的内部，猜想 $B D$ 、 $P M$ 、 $P N$ 、 $P Q$ 之间的数量关系并写出推理过程．

②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得此时 $B D$ 、 $P M$ 、 $P N$ 、 $P Q$ 之间的数量关系是：_▲_ ．（直接写出结论即可）

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