河南省平顶山市2021-2022学年高三上学期理数阶段性检测试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) | x, y \in N^{*}, y \geq x}$ ， $B = {(x, y) | x + y = 8}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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2. 若 $z = 1 - i$ ，则 $| \frac{\bar{z} + 1}{z - 1} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2} ， 3)$ ，则 $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} < 0$ 成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $- \frac{1}{2} < x < 3$ B、 $- \frac{1}{2} < x < 0$ C、 $- 3 < x < \frac{1}{2}$ D、 $- 1 < x < 6$

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4. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (0 ， 4)$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，记 $f (P) = | P A | + | P B | + | P C |$ ，则 $f (P)$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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5. 从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是（）

A、 $\frac{1}{40}$ ， $\frac{21}{2021}$ B、 $\frac{50}{2021}$ ， $\frac{21}{2021}$ C、 $\frac{1}{40}$ ， $\frac{21}{2000}$ D、 $\frac{21}{2000}$ ， $\frac{50}{2021}$

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $\frac{f (x)}{g (x)} = a^{x}$ ， $f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x) > 0$ ， $\frac{f (1)}{g (1)} + \frac{f (- 1)}{g (- 1)} = \frac{5}{2}$ ，则数列 ${\frac{f (n)}{g (n)}}$ 的前10项的和是（）

A、1024 B、1023 C、2046 D、2048

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7. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）

A、20种 B、30种 C、40种 D、60种

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，将该函数的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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9. 已知三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为边长等于2的等边三角形， $S A$ 垂直于底面 $A B C$ ， $S A$ =3，那么直线 $A B$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值为

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 已知点 $O$ 为正 $△ A B C$ 所在平面上一点，且满足 $\vec{O A} + λ \vec{O B} + (1 + λ) \vec{O C} = \vec{0}$ ，若 $△ O A C$ 的面积与 $△ O A B$ 的面积比值为 $1 ： 4$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、3

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点， $P$ 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若 $A$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆上一动点，当 $A F_{1}$ 的最大值为4时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12. 若 $2^{a} + \frac{\ln 2}{2} = e^{b} + \frac{1}{e} = 5^{c} + \frac{\ln 5}{5}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $b < a \ln 2 < c \ln 5$ B、 $a \ln 2 > c \ln 5 > b$ C、 $b > c \ln 5 > a \ln 2$ D、 $a \ln 2 > b > c \ln 5$

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二、填空题

13. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 4$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ， $A = 30 °$ ，则该三角形的面积等于.

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 5 \leq 0 \\ y - 2 \geq 0 ， \\ x - 1 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = \frac{x + 2 y + 3}{x + 1}$ 的最小值是.

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15. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $E$ 是 $C D$ 边的中点.现以 $A E$ 为折痕将 $A D E$ 折起，当三棱锥 $D - A B E$ 的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为.

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16. 抛物线 $C ： x = 2 p y^{2} (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，若 $△ M A B$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ .

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三、解答题

17. 在公比大于0的等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2}, a_{3}, 6 a_{1}$ 依次组成公差为4的等差数列

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{{log}_{2} a_{2 n} - 5}{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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18. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ P C$ ， $A D ∕ ∕ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ，且 $P C = B C = 2 A D$ $= 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ．

(1)、 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上，是否存在一点 $M$ ，使得二面角 $M - A C - D$ 的大小为 $60 °$ ？如果存在，求 $\frac{P M}{P D}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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19. 新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是 $50$ 岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为 ${2.25}^{2}$ .如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

年龄/人数

长期潜伏

非长期潜伏

50岁以上

60

220

50岁及50岁以下

40

80

(1)、是否有 $95 %$ 的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

(2)、假设潜伏期 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ .
（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离 $14$ 天，请用概率的知识解释其合理性；

（ii）以题目中的样本频率估计概率，设 $1000$ 个病例中恰有 $k (k \in N^{*})$ 个属于“长期潜伏”的概率是 $p (k)$ ，当 $k$ 为何值时， $p (k)$ 取得最大值.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.1

0.05

0.010

$k_{0}$

2.706

3.841

6.635

若 $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6862$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆上的点到其右焦点 $F$ 的最远距离为3.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、当直线 $l$ （斜率不为0）经过点 $F$ ，且与椭圆 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点时，问 $x$ 轴上是否存在定点 $P$ ，使得 $x$ 轴平分 $∠ A P B$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x + \frac{a}{x} (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $x - y + 2 = 0$ 平行

(1)、求实数 $a$ 的值，并求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若方程 $f (x) = m$ 有两个不相等的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > \frac{2}{e}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 1 + 2 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{12}{\sin^{2} θ + 3}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；

(2)、已知点 $P (1 ， - 1)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 t | - | x + t | (t > 0)$ .

(1)、当 $t = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集；

(2)、若 $t^{2} \geq f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立， $M = t + \frac{t + 8}{t - 1}$ ，求 $M$ 的最小值.

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年龄/人数	长期潜伏	非长期潜伏
50岁以上	60	220
50岁及50岁以下	40	80

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.1	0.05	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635