河北省石家庄2022届高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} = 1}$ ，集合 $B = {(x ， y) | y = | x | - 1}$ ，则集合 $A \cap B$ 的真子集的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 设 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $(3 + 4 i) z = 25$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \log_{a} x ， x \geq 3 \\ 2 - x ， x < 3 \end{array}$ ，则“函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知点M是直线 $y = \frac{1}{2} x$ 与单位圆在第一象限内的交点，设 $∠ x O M = α$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 若直线 $x - y + a = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $∠ A O B = 120 °$ （ $O$ 为原点），则 $| a |$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} - 3 x + 1$ ，且 $f (a^{2}) + f (3 a - 4) > 2$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， 1)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(0 ， 5)$ D、 $(- 1 ， 4)$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，经过点P(1，1)的直线l与该曲线交于A､B两点，且点P恰好为AB的中点，则 $| A F | + | B F | =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、12

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 25$ ，对任意的 $n \in N_{+}$ 有 $(n - 1) a_{n + 1} - n a_{n} + 28 = 0$ ，设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2}$ ， $n \in N_{+}$ ，则当 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 取到最大值时 $n$ 的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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二、多选题

9. 设正实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值是 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是9 C、 $4 x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2 x} + \sqrt{y}$ 的最大值为2

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10. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 21 = 0$ ， $O$ 为坐标原点，以 $O C$ 为直径的圆 $C^{'}$ 与圆 $C$ 交于 $A B$ 两点，则（）

A、圆 $C^{'}$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 3 x - 4 y = 0$ B、直线 $A B$ 的方程为 $3 x - 4 y - 21 = 0$ C、 $O A$ ， $O B$ 均与圆 $C$ 相切 D、四边形 $C A O B$ 的面积为 $4 \sqrt{21}$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ， $F$ 为 $C$ 的右焦点， $A$ 为 $C$ 的左顶点， $P ， Q$ 为直线 $x + m y = 0$ 与 $C$ 的两个交点，则下列叙述正确的是（）

A、 $△$ $F P Q$ 周长的最小值为 $16$ B、 $△$ $A P Q$ 面积的最大值为 $15$ C、若 $△$ $F P Q$ 的面积为 $9$ ，则 $△$ $F P Q$ 为直角三角形 D、若直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之积为 $- \frac{9}{25}$ ，则 $△$ $A P Q$ 为等腰三角形

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12. 已知函数 $f (x) = {(x \ln x - a + 3)}^{2} + {(x - a)}^{2}$ ，其中 $a \in R$ ，若不等式 $f (x) \leq 2$ 有解，则下列叙述正确的是（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a = 2$ C、方程 $f (x) = 1$ 有唯一解 D、方程 $f (x) = 5$ 有唯一解

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (2 ， 1)$ ，点 $P ， Q$ 分别为直线 $y = x$ 和 $y = 0$ 上动点，则△ $A P Q$ 周长的最小值为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1, S_{n} = n^{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b > 0$ ）的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线 $C$ 的左支交于 $A ， B$ 两点， $A F_{2} ， B F_{2}$ 分别交 $y$ 轴于 $P ， Q$ 两点，若△ $P Q F_{2}$ 的周长为 $12$ ，则当 $a b$ 取得最大值时，该双曲线 $C$ 的离心率为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 2$ ， $S_{4} = 10$ ，数列 ${b_{n}}$ 的 $n$ 项和为 $T_{n} = \frac{1}{2} (3^{n} - 1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = b_{n} \sin (\frac{a_{n} π}{2})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前2021项和 $P_{2021}$ .

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18. $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 a \cos C - c = 2 b$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，△ $A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ）， $a_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \cos n π \cdot \frac{n}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ 的表达式.

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20. 已知抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点为F，Q $(\frac{1}{2} ， \sqrt{t})$ 在抛物线C上，且|QF|= $\frac{3}{2}$ .

(1)、求抛物线C的方程及t的值；

(2)、若过点M（0，t）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且 $S_{△ A O B} = \sqrt{3} S_{△ M O N}$ ，求直线l的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x - a e^{x} (a \in R) ， g (x) = x (x - ln x + 1)$ .

(1)、讨论函数 $y = f (x) ， x \in R$ 的单调性；

(2)、若对于任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) > g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{3} ， 0)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与C交于 $A ， B$ 两点.当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，线段 $A B$ 长度为1. $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程

（Ⅱ）若对任意的直线 $l$ ，点 $M (m ， 0)$ 总满足 $∠ O M A = ∠ O M B$ ，求实数 $m$ 的值.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求 $△ M A B$ 面积的最大值.

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