河北省保定市2022届高三上学期数学10月摸底考试试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， \tan x - \sin x > \frac{1}{2}$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x \in R ， \tan x - \sin x \leq \frac{1}{2}$ B、 $\exists x \in R ， \tan x - \sin x < \frac{1}{2}$ C、 $\forall x \in R ， \tan x - \sin x > \frac{1}{2}$ D、 $\forall x \in R ， \tan x - \sin x \leq \frac{1}{2}$

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2. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9} ， B = {x | 3 x^{2} - 20 x - 7 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${3}$ C、 ${3 ， 5}$ D、 ${1 ， 3 ， 5}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， y)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b} = (2 ， 6)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + 1$ ，则“ $f (x) = 2$ ”是“ $x = 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在 $△ A B C$ 中， $s i n A = s i n B c o s C ，$ 则 $△ A B C$ 是（）

A、直角三角形 B、等腰直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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6. 函数 $f (x) = \frac{3 x^{2} \cos x}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 单调递减，则不等式 $f (2 x - 1) + f (5 x - 13) < 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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8. 已知 $- \frac{π}{2} < a < β < \frac{π}{2}$ ，且 $a β \neq 0 ， 2 \cos (a + β) - \cos (a - β) = \frac{\cos a}{\cos β}$ ，则 $\tan (α + β)$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{3} ， 0)$ B、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0)$ C、 $(0 ， \sqrt{3}]$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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二、多选题

9. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左､右焦点，点 $M$ 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段 $F_{1} ， F_{2}$ 为直径的圆经过点 $M$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 3$ C、点 $M$ 的横坐标为2或-2 D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{5}$

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10. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ .音有四要素：音调､响度､音长和音色.它们都与函数 $y = A \sin ω t$ 及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐；我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是 $y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{4} \sin 4 x + \dots$ 结合上述材料及所学知识，下列说法错误的是（）

A、函数 $y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{4} \sin 4 x + \dots + \frac{1}{10} \sin 10 x$ 不具有奇偶性 B、函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{4} \sin 4 x$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 上单调递增 C、若某声音甲的对应函数近似为 $g (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，则声音甲的响度一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 响度小 D、若某声音乙的对应函数近似为 $φ (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ ，则声音乙一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 更低沉

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11. 已知点 $A (0 ， 2)$ ， $B (1 ， 1)$ ，且点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 上， $C$ 为圆心，则（）

A、当 $∠ P A B$ 最大时， $△ A P B$ 的面积为2 B、 $| P A | + | P B |$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、 $| P A | - | P C |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $| | P A | - | P B | |$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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12. 已知 $a = 1.2$ ， $b = \frac{11}{9}$ ， $c = e^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < c$ B、 $c < a$ C、 $b < c$ D、 $c < b$

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三、填空题

13. 已知实数 $a ， b$ 满足 $b = \frac{1}{4 a}$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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14. 若抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的一点 $A (\frac{p}{4} ， y_{1})$ 到它的焦点的距离为6，则 $p =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 6 ， A C = 6 \sqrt{3} ， B C = 12 ，$ 动点 $P$ 自点 $C$ 出发沿 $C B$ 运动，到达点 $B$ 时停止，动点 $Q$ 自点 $B$ 出发沿 $B C$ 运动，到达点 $C$ 时停止，且动点 $Q$ 的速度是动点 $P$ 的 $3$ 倍．若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时．另一个点也停止运动，则该过程中 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最大值是．

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16. 已知 $l_{1}$ ： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 经过点 $P (1 ， 2)$ ，且与直线 $l_{2}$ ： $2 x + y + m = 0$ 平行，则 $a + b =$ .若这两条平行线之间的距离为 $\sqrt{5}$ ，且 $l_{2}$ 不经过第一象限，则 $m =$ .

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{4} + a_{16} = 40$ ．数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 满足下列三个条件中的两个：
①函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴的任意两个相邻交点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ﹔

②直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴；

③ $f (\frac{π}{4}) = 0 ，$ 且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调．

(1)、请指出这两个条件，说明理由，并求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 今年某地洪水泛滥，当地政府积极组织救援.如图，已知A ， B两点是洪水两岸南北方向的两个观测点，A ， B相距 $35 (1 + \sqrt{3})$ 米，在点C处有人需要救援，点C在B的南偏东60°方向，在A的北偏东45°方向，救生艇在B的南偏西60方向，且距离B为50米的点D处.

(1)、求BC；

(2)、若救生艇从点D出发，沿DC以 $5 \sqrt{109}$ 米/分钟的速度进行救援，则多长时间可以到达点C？

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，且 $C$ 经过点 $P (- 2 ， 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $A$ ，若 $| P A | = \frac{12 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (9^{x} - 4 \times 3^{x + 1} + 43)$ ，函数 $g (x) = x^{2} - 2 m x + \log_{2} 7$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [1 ， 2] ， \exists x_{2} \in [1 ， 2]$ ，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - 2 a x$ ， $a \in R$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的最小值为0.

(1)、求实数a的值.

(2)、若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2 (x_{1} \neq x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} < 0$ .

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