广东省湛江市2022届高三上学期数学调研测试（10月）试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 7 < 3 - 2 x < 1}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $z = - 1 + 2 i$ ，则 $z - \bar{z} + \frac{z}{i} =$ （）

A、 $2 + 5 i$ B、 $2 - 3 i$ C、 $- 2 + 5 i$ D、 $- 2 - 3 i$

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3. 已知 $\vec{O A} ⊥ \vec{A B}$ ， $| \vec{O A} | = 4$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ （）

A、4 B、8 C、16 D、32

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4. 函数 $f (x) = \frac{3 x^{2} \cos x}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $f (x) = 2 x - 5 \ln x + \frac{3}{2} x^{2}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{3}{2})$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1)$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列直线与 $A C$ 成60°角的是（）

A、 $B_{1} C_{1}$ B、 $B C_{1}$ C、 $D D_{1}$ D、 $B_{1} D$

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7. 定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 3^{x} - 1$ ，则 $f (2000) + f (2001) + f (2002) + \dots + f (2021) =$ （）

A、-2 B、0 C、2 D、4

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2， $C$ 的左､右焦点分別为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 的右支上， $P F_{1}$ 的中点 $N$ 在圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上，其中 $c$ 为半焦距，则 $\sin ∠ F_{1} P F_{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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二、多选题

9. 函数 $f (x) = 3 \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $4 π$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (x)$ 是奇函数，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{3 π}{2}]$ 上的最大值为-3 C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{3 π}{2}]$ 上的最大值为 $- \frac{3}{2}$

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10. 某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照 $[11.5 ， 12)$ ， $[12 ， 12.5)$ ，…， $[15.5 ， 16]$ 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

由直方图推断，下列选项正确的是（）

A、直方图中 $a$ 的值为0.38 B、由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒 C、由直方图估计本校高三男生100米休能测试成绩不大于13秒的人数为54 D、由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒

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11. 已知点 $A (0 ， 2)$ ， $B (1 ， 1)$ ，且点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 上， $C$ 为圆心，则（）

A、当 $∠ P A B$ 最大时， $△ A P B$ 的面积为2 B、 $| P A | + | P B |$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、 $| P A | - | P C |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $| | P A | - | P B | |$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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12. 如图，等腰直角三角形 $A B E$ 的斜边 $A B$ 为正四面体 $A - B C D$ 的侧棱， $A B = 2$ ，直角边 $A E$ 绕斜边 $A B$ 旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $E - B C D$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{2} + 1}{3}$ B、三棱锥 $E - B C D$ 体积的最小值为 $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ C、存在某个位置，使得 $A E ⊥ B D$ D、设二面角 $D - A B - E$ 的平面角为 $θ$ ，且 $0 < θ < π$ ，则 $θ < ∠ D A E$

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三、填空题

13. 已知 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $2 \sin 2 x = 3 \sin x$ ，则 $\cos 2 x =$ .

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14. 某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (110 ， σ^{2})$ ，若 $P (100 \leq X \leq 110) = 0.35$ ，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为.

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15. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，点 $A (x_{0} ， \frac{p}{2})$ 在 $C$ 上，点 $B$ 的坐标为 $(0 ， - \frac{p}{2})$ ，若 $| A B | = 5 \sqrt{2}$ ，则 $C$ 的焦点坐标为.

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16. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列3，4进行构造，第一次得到数列3，7，4；第二次得到数列3，10，7，11，4；依次构造，第 $n (n \in N^{*})$ 次得到数列3， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{k}$ ，4.记 $a_{n} = 3 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + 4$ ，则 $a_{3} =$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ .

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{4} + a_{16} = 40$ ．数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 中内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\cos A \cos B - 1 = \sin A \sin B - 2 \sin^{2} C$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 4$ ， $a^{2} + b^{2} = 32$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A C B D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D ， P A = A B = 2$ ，点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $P B C$ .

(2)、若 $B C = 3 ，$ 求二面角 $A - C E - D$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，且 $C$ 经过点 $P (- 2 ， 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $A$ ，若 $| P A | = \frac{12 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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21. 某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为 $A$ ， $B$ ， $C$ 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：

工种类别

$A$

$B$

$C$

赔付概率

$\frac{1}{10^{5}}$

$\frac{2}{10^{5}}$

$\frac{1}{10^{4}}$

对于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三类工种，职工每人每年保费分别为 $a$ 元､ $a$ 元､ $b$ 元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.

(1)、若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的 $15 %$ ，证明： $153 a + 17 b \geq 4200$ .

(2)、现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作， $a = 35$ ， $b = 60$ ，单位负责职工保费的 $80 %$ ，职工个人负责 $20 %$ ，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + b \cos x + \frac{1}{2} x^{2} + 1$ （其中 $a ， b$ 为实数）的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = x + 1$ .

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = f^{'} (x) - 3 x$ 的最小值；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，不等式 $x f (x) \geq \frac{3}{2} x^{3} + 2 λ x^{2} + x$ 恒成立，求实 $λ$ 数的取值范围､

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工种类别	$A$	$B$	$C$
赔付概率	$\frac{1}{10^{5}}$	$\frac{2}{10^{5}}$	$\frac{1}{10^{4}}$