广东省普通高中2022届高三上学期数学11月阶段性检测试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq \frac{8}{3} ， x \in N}$ ，集合 $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 2}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 + 2 i$ ，则复数 $z (1 - i)$ 的虚部为（）

A、-1 B、 $- i$ C、-3 D、 $- 3 i$

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2$ ， $\cos A = \frac{1}{3}$ ， $\sin B = 3 \sin C$ ，则 $c =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则“ $θ = 60 °$ ”是“ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分必要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $l o g_{2} a = l o g_{3} b = l o g_{6} c$ ，则（）

A、 $a = b c$ B、 $b^{2} = a c$ C、 $c = a b$ D、 $c^{2} = a b$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \cos 2 x$ ，则满足 $f (2^{x} + 1) > f (- 3^{x} - 1)$ 的实数x的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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7. 若函数 $f (x) = 2 \cos (2 ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 内单调递减，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 2021年7月份河南郑州地区发生水灾，灾后需要对市区所有街道进行消毒处理．下面是消毒装备的示意图，MN为路面，PQ为消毒设备的高，OQ为喷杆， $P Q ⊥ M N$ ， $∠ P Q O = \frac{3 π}{4}$ ，O处是喷洒消毒水的喷头，且喷头的喷射角 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，已知 $P Q = 2$ ， $O Q = \sqrt{2}$ ，则消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、“ $x = \frac{π}{4}$ ”是“ $\tan x = 1$ ”的充分不必要条件 B、若a、 $b \in R$ ，则“ $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ”是“a、b不全为0”的充要条件 C、命题“ $\forall x < 1$ ，都有 $| x | < 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \geq 1$ ，使得 $| x_{0} | \geq 1$ ” D、命题 $p ：$ “若 $a > b$ ，则 $a m^{2} > b m^{2}$ ”的否定是真命题

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10. 下列说法中错误的是（）

A、已知 $\vec{a} = (1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 3)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为平面内所有向量的一组基底 B、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $| \vec{a} |$ C、若两非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、平面直角坐标系中， $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (5 ， 0)$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = - f (4 - x)$ ，且 $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 C、 $f (x + 2)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 是周期为4的函数

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A E = D E = 2$ ， $E F // A B$ ，点 $G$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to B \to C \to D \to A$ 的方向运动至点 $A$ 后停止，若在点 $G$ 的运动过程中，有且只有8个不同的点 $G$ ，使得 $\vec{G E} \cdot \vec{G F} = m$ （ $m$ 是常数）成立，则 $m$ 的值可能是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. 请写出一个函数 $f (x) =$ ，使之同时具有如下性质：
①图象关于直线 $x = 2$ 对称；② $\forall x \in R$ ， $f (x + 4) = f (x)$ ．

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14. 已知 $\sqrt{3} \sin θ - \cos θ = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (θ + \frac{π}{3}) =$ ．

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15. 若向量 $\vec{a} = (x ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， y)$ ， $\vec{c} = (- 1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{c}) ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - (a + 3) x \cdot e^{x} + 3 a x^{2}$ 有4个零点，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \cos (270 ° + B) = \tan 240 ° \cdot b \sin (90 ° + A)$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = 3$ ， $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $b + c$ 的值．

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18. 已知某闯关游戏，第一关在 $A ， B$ 两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束． $A$ 情境寻宝成功获得经验值2分，否则得0分； $B$ 情境寻宝成功获得经验值3分，否则得0分．已知某玩家在 $A$ 情境中寻宝成功的概率为0.8，在 $B$ 情境中寻宝成功的概率为0.6，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．

(1)、若该玩家选择从 $A$ 情境开始第一关，记 $X$ 为经验值累计得分，求 $X$ 的分布列；

(2)、为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n - 1} = a_{n} (3 a_{n - 1} + 1)$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ），且 $a_{2} = - 1$ ， $a_{n} \neq 0$ ．

(1)、证明数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，求 $b_{n}$ 的最小值．

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20. 如图所示的几何体由三棱锥 $P - A D Q$ 和正四棱锥 $P - A B C D$ 拼接而成， $P Q ⊥$ 平面 $A D Q$ ， $A B // P Q$ ， $P Q = 1$ ， $A B = 2$ ， $A Q = \sqrt{5}$ ，O为四边形 $A B C D$ 对角线的交点．

(1)、求证： $O P //$ 平面 $A D Q$ ；

(2)、求二面角 $O - A P - D$ 的正弦值．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，点 $A$ 在抛物线上，且在第一象限，过 $A$ 的切线与 $x$ 轴交于点 $M (- 2 ， 0)$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、直线 $l ： x = m y + 2$ 交抛物线 $C$ 于点 $M ， N$ ，交直线 $l^{'} ： x = - 2$ 于点 $P$ ，记直线 $A M ， A P ， A N$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3}$ ，求证： $k_{1} + k_{3} = 2 k_{2}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - k x - 1$ ， $x \geq 0$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + \frac{e^{x}}{x + 1} \geq 0$ 对任意 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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