广东省惠州市2022届高三上学期数学第二次调研（10月）试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $1 + i^{5}$ 的虚部为（）

A、-1 B、0 C、1 D、 $i$

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = {x | x < 1}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 1}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 3}$ D、 ${x | x \leq - 2}$

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3. “x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ B、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，则 $m / / β$

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5. 已知 $x > 0$ ，则函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x}$ 的最小值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知直线 $l$ ： $a x - y + 2 = 0 (a \in R)$ 与圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，点 $C$ 是圆 $M$ 上一动点，设点 $P (0 ， - 1)$ ，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} |$ 的最大值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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8. 某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式

q = λ_{1} \frac{| Δ T |}{d (\frac{λ_{1} l}{λ_{2} d} + 2)}

，其中玻璃的热传导系数

λ_{1} = 4 \times 10^{- 3}

焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数

λ_{2} = 2.5 \times 10^{- 4}

焦耳/（厘米·度），

Δ T

为室内外温度差，q值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：

型号	每层玻璃厚度d（单位：厘米）	玻璃间夹空气层厚度l（单位：厘米）
A型	0.4	3
B型	0.3	4
C型	0.5	3
D型	0.4	4

则保温效果最好的双层玻璃的型号是（）

A、A型 B、B型 C、C型 D、D型

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二、多选题

9. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{5} = 3$ ， $S_{3} = - 9$ ，则有（）

A、 $a_{1} = - 5$ B、 $a_{4} < 0$ C、 $S_{6} = 0$ D、 $S_{3} < S_{4}$

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10. 某种产品的价格 $x$ （单位：元/ $kg$ ）与需求量 $y$ （单位：kg）之间的对应数据如下表所示：

$x$

10

15

20

25

30

$y$

11

10

8

6

5

根据表中的数据可得回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 14.4$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $y$ 与 $x$ 正相关 B、 $y$ 与 $x$ 负相关 C、样本中心为 $(20 ， 8)$ D、该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为 $3.4 kg$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin 2 ω x + \cos 2 ω x (ω > 0)$ ，若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2 \sqrt{2}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增 C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称 D、对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (\frac{π}{8} + x) = f (\frac{π}{8} - x)$

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12. 如图所示，从一个半径为 $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ （单位：m）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥 $P - A B C D$ ，则以下说法正确的是（）

A、四棱锥 $P - A B C D$ 的体积是 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} m^{3}$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积是 $8 π m^{2}$ C、异面直线 $P A$ 与 $C D$ 所成角的大小为 $60 °$ D、二面角 $A - P B - C$ 所成角的余弦值为 $- \frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $\tan α = - 3$ ，则 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} =$ .

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14. 一张方桌有四个座位， $A$ 先坐在如图所示的座位上， $B$ ， $C$ ， $D$ 三人随机坐到其他三个位置上，则 $C$ 与 $D$ 相邻的概率为.

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15. 根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.如图所示，沿直线 $y = - 2$ 发出的光线经抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 反射后，与 $x$ 轴相交于点 $A (2 ， 0)$ ，则 $p =$ .

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16. 已知 $a > 0$ ，若 $f (x) = x e^{a x}$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间是；若不等式 $a e^{a^{2} - a x + 1} - x + \frac{1}{a} > 0$ 对 $\forall x \in (0 ， 4)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1}$ ， $4 a_{3} - 1$ ， $2 S_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} + \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(a^{2} + c^{2} - b^{2}) \sin A = a^{2} \sin C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $a = 2$ ，求边长 $b$ 的取值范围.

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19. 如图所示的多面体是由一个直四棱柱被平面 $A E F G$ 所截后得到的，其中 $∠ B A E = ∠ G A D = 45 °$ ， $A B = 2 A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A D G$ ；

(2)、求直线 $G B$ 与平面 $A E F G$ 所成角的正弦值.

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20. 一家养鸡场养了甲､乙两个品种的产蛋鸡，在甲､乙两个品种的产蛋鸡中各随机抽取1000只，分别记录其日产蛋量.根据产蛋期的记录，绘制了日产蛋量的频率分布直方图，如图所示（视频率为概率）.

(1)、若甲､乙两种鸡的日产蛋量相互独立，记“甲､乙两种鸡的日产蛋量都不低于850个”为事件 $A$ ，试估计事件 $A$ 发生的概率；

(2)、由于甲､乙两种鸡的食量和产蛋的大小不同，甲品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为 $10 %$ ，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为 $15 %$ ，日产蛋量不小于900个的利润率为 $20 %$ ；乙品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为 $15 %$ ，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为 $20 %$ ，日产蛋量不小于900个的利润率为 $10 %$ .若在甲､乙两个品种上各投资10万元， $X_{1}$ （单位：万元）和 $X_{2}$ （单位：万元）分别表示投资甲､乙两个品种所获得的利润，求 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的数学期望，并对甲､乙两个品种的投资进行分析比较.

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 3)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，过点 $F_{1}$ 且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点.当直线 $l$ 垂直 $x$ 轴时， $| A B | = \frac{8}{3}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、求 $△ A B F_{2}$ 内切圆半径的最大值.

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = 4 x - a \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - 2$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 6 - \ln a$ .

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$x$	10	15	20	25	30
$y$	11	10	8	6	5