广东省广州市重点高中2022届高三上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} + x = 0}$ ， $B = {x | x^{2} - x = 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、0 B、{0} C、 $\emptyset$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 若不等式 $| x - 1 | < a$ 成立的充分条件为 $0 < x < 4$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 ${a ∣ a \geq 3}$ B、 ${a ∣ a \geq 1}$ C、 ${a ∣ a \leq 3}$ D、 ${a ∣ a \leq 1}$

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3. 若复数 $z = \frac{3 - i}{- 1 + 3 i}$ （i为虚数单位），则z在复平面内的对应点落在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 在下列函数中，最小值为2的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = \lg x + \frac{1}{\lg x} (1 < x < 10)$ C、 $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} (x > 1)$ D、 $y = \sin x + \frac{1}{\sin x} (0 < x < \frac{π}{2})$

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5. 已知函数 $f (x - \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ （）

A、 $\frac{17}{4}$ B、4 C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{13}{4}$

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6. 函数 $f (x) = (x - 1) \ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = \tan x + \sqrt{3} \sin x$ ，若对任意 $x \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ ， $f (x) > a$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{5 \sqrt{3}}{6}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{5 \sqrt{3}}{6})$ C、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $9 b^{2} + 6 b c \cos A = 11 c^{2}$ ，则角B的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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二、多选题

9. 下列函数既是偶函数，在 $(0 ， + \infty)$ 上又是增函数的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = | x |$ D、 $y = | \frac{1}{x} - x |$

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10. 下列说法错误的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ D、与非零向量 $\vec{a}$ 共线的单位向量为 $\pm \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$

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11. 已知双曲线 $W ： \frac{x^{2}}{2 + m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ ，（）

A、 $m \in (- 2 ， - 1)$ B、若W的顶点坐标为 $(0 ， \pm \sqrt{2})$ ，则 $m = - 3$ C、W的焦点坐标为 $(\pm 1 ， 0)$ D、若 $m = 0$ ，则W的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{2} y = 0$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 & x \leq 0 \\ | lg x | & x > 0 \end{array}$ ，方程 $f^{2} (x) - m f (x) - 1 = 0$ 有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）

A、函数 $f (x)$ 的零点的个数为2 B、实数 $m$ 的取值范围为 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ C、函数 $f (x)$ 无最值 D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增

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三、填空题

13. 函数 $y = {(x + 1)}^{- 2}$ 的递增区间是．

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14. 已知 $\sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{3} ， x \geq 0 \\ - x^{2} ， x < 0 \end{cases}$ ，若对于任意的 $x \in R$ ， $| f (x) | \geq a x$ ，则 $a =$ .

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16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} > 0$ ，且满足 $S_{2} \cdot S_{3} \dots S_{n} = n (a_{2}^{2} - t) (a_{3}^{2} - t) \dots (a_{n}^{2} - t)$ ，（ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ），若 $a_{n} \leq \frac{n + 1}{2}$ （ $n \in N^{*}$ ），则实数t的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 8$ ， $S_{9} = 11 a_{4}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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18. $△ A B C$ 的内角A ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ . $△ A B C$ 的面积为S ，已知 $4 c S = (2 a - c) (a^{2} + c^{2} - b^{2}) \tan C$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 3$ ， $a < b$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $\cos 2 A$ .

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19. 红队队员甲､乙､丙与蓝队队员A ， B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立.

(1)、求红队至少两名队员获胜的概率；

(2)、用 $ξ$ 表示红队队员获胜的总盘数，求 $ξ$ 的分布列.

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20. 已知四边形 $A B C D$ 满足 $A D // B C$ ， $B A = A D = D C = \frac{1}{2} B C = a$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ ，使平面 $B_{1} A E ⊥$ 平面 $A E C D$ ， $F$ 为 $B_{1} D$ 的中点．

(1)、求四棱锥 $B_{1} - A E C D$ 的体积；

(2)、求平面 $A D B_{1}$ 与平面 $E C B_{1}$ 所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆C的中心为坐标原点，且以直线 $x + m y - \sqrt{2} = 0$ （m∈R）所过的定点为一个焦点，过右焦点F₂且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2.

(1)、求椭圆C的标准方程；.

(2)、设点A ， B分别是椭圆C的左､右顶点，P ， Q分别是椭圆C和圆O∶ $x^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点（P ， Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP ， BP分别与y轴交于不同的两点M ， N ，求证∶QM与QN所在的直线互相垂直.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 \cos x$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、是否存在正数 $a$ ，使得 $f (x) \geq a (x - 1)$ 对任意 $x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立？证明你的结论.

(3)、求 $f (x)$ 在 $[- π ， + \infty)$ 上零点的个数.

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