福建省三明市重点高中2022届高三上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \geq 0} ， B = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、R B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [0 ， + \infty)$

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2. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x y}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知 $p$ ： $| 2 x - 3 | < 1$ ， $q$ ： $x (x - 3) < 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）条件.

A、充分必要 B、充分不必要 C、既不充分也不必要 D、必要不充分

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4. 若 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 设 $a = {0.6}^{0.6} ， b = \log_{1.5} 0.6 ， c = {1.5}^{0.6}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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6. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) ， (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，且 $f (x)$ 的图象过 $A (\frac{π}{2} ， 1) ， B (π ， - 1)$ 两点，为了得到 $g (x) = 2 \sin ω x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ B、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ C、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ D、向右平移 $\frac{5 π}{12}$

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7. 已知 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等边三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、有一个内角是30°的直角三角形

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， & x ⩾ 0 ， \\ - x ， & x < 0. \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - | k x^{2} - 2 x | (k \in R)$ 恰有4个零点，则k的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \log_{5} (x^{2} - 2 x - 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[1 ， + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 的值域是R C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 D、不等式 $f (x) < 1$ 的解集是 $(- 2 ， - 1) \cup (3 ， 4)$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} ， \sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\cos (A + B)$ 的值可能为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ， $f (1 + x) = f (3 - x)$ ，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为4 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、当 $0 \leq x \leq 4$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为2 D、当 $6 \leq x \leq 8$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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12. 已知 $A$ 是锐角三角形 $A B C$ 的内角，函数 $f (x)$ 满足 $f (\sin A - \cos A) = \sin A + \cos A$ ，下列关于 $f (x)$ 说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 的值域为 $(1 ， 2]$ D、 $f (\sin A) < f (\cos B)$

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三、填空题

13. 已知 $1 - \sin (θ + \frac{π}{3}) = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ ，则 $\sin (θ + \frac{π}{6})$ 的值为

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14. 设P为曲线C：y＝x²＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为 $[0, \frac{π}{4}]$ ，则点P横坐标的取值范围为．

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15. 若点 $P (\cos θ, \sin θ)$ 与点 $Q (\cos (θ + \frac{π}{6}), \sin (θ + \frac{π}{6}))$ 关于 $y$ 轴对称，写出一个符合题意的 $θ =$ ．

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16. 设函数 $f (x) = x^{2} + a \cos x ， a \in R$ ，非空集合 $M = {x | f (x) = 0 ， x \in R}$ ．

(1)、M中所有元素之和为．

(2)、若集合 $N = {x | f (f (x)) = 0 ， x \in R}$ ，且 $M = N$ ，则a的值是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x)= \frac{(\sin x - \cos x) \sin 2 x}{\sin x}$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的定义域及最小正周期

（Ⅱ）求 $f (x)$ 的单调递减区间．

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18. 求函数 $f (x) = e^{2 x} - e^{x} - x$ 的单调区间与极值．

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19. $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ . 已知 $a = 3, \cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}, B = A + \frac{π}{2}$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．

(1)、①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；

(2)、若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．

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21. 在① $2 \cos A (c \cos B + b \cos C) = a$ ，② $\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A = \sin B \sin C$ ，③ $\sqrt{3} \sin C + \cos C = \frac{b + c}{a}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且________．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点， $∠ A O B = 120 °$ ， $∠ A O C = 150 °$ ， $b = 1$ ， $c = 3$ ，求 $\tan ∠ A B O$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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22. 已知函数 $f (x) = \cos x + \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \sin x - e^{b x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq g (x)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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