福建省福州市重点高中2022届高三上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $(x^{2} - 4) + (x^{2} + 3 x + 2) i$ 是纯虚数（ $i$ 为虚数单位），则实数x的值为（）

A、-2 B、2 C、2或-2 D、以上都不对

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2. 已知集合 $M = {x | y = \lg (x^{2} - 5 x + 4)}$ ， $N = [- 1 ， + \infty)$ ，则 $M \cup N$ 等于（）

A、 $(- \infty ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 1) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $\emptyset$ D、 $[- 1 ， 1) \cup (4 ， + \infty)$

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3. 已知a＝log_0.53，b＝2^0.3 ， c＝0.3^0.5 ，则a、b、c的大小关系为（）

A、a＜c＜b B、a＜b＜c C、b＜c＜a D、b＜a＜c

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4. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， \sin x < 1$ ﹔命题 $q ： \forall x \in R$ ﹐ $e^{| x |} \geq 1$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \land q$ C、 $p \land \neg q$ D、 $\neg (p \lor q)$

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5. 飞轮在制动后的 $t$ 秒钟时间内转过的角的大小 $φ$ （弧度）可由函数 $φ (t) = 6 t - 0.5 t^{2}$ 来模拟，则飞轮在完全停止转动前2秒钟时间内的平均角速度（弧度/秒）为（）（注：瞬时角速度 $ω (t) = φ^{'} (t)$ ，平均角速度 $ω = \frac{Δ Φ}{Δ t}$ ）

A、1 B、1.5 C、2 D、2.5

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6. 已知 $e$ 是自然对数的底数，关于 $x$ 的方程 $e^{| x - 2 |} = x$ 有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $x_{1} < 1$ ， $x_{2} > 3$ B、 $x_{1} > 1$ ， $x_{2} < 3$ C、 $x_{1} > 1$ ， $x_{2} > 3$ D、 $x_{1} < 1$ ， $x_{2} < 3$

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7. 已知 $f (x) = \sin x + \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + 1}$ ， $a = f (\log_{2} 3)$ ， $b = f (\log_{\frac{1}{2}} 3)$ ，则 $a + b =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导函数 $f^{'} (x)$ ，对任意实数 $x$ ，都有 $f (x) = f (- x) + 2 x$ ，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) < 2 x + 1$ ，若 $f (2 - a) \leq f (- a) - 4 a + 6$ ，则实数 $a$ 的最小值是（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 下列命题中，错误的命题有（）

A、函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 是同一个函数 B、命题“ $\exists x_{0} \in [0 ， 1]$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} \geq 1$ ”的否定为“ $\forall x \in [0 ， 1]$ ， $x^{2} + x < 1$ ” C、函数 $y = \sin x + \frac{4}{\sin x} (0 < x < \frac{π}{2})$ 的最小值为4 D、设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 2 ， & x < 0 \\ 2^{x} ， & x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增

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10. 已知 $\log_{b} 2021 > \log_{a} 2021 > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${0.2}^{a} < {0.2}^{b}$ B、 $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$ C、 $\ln b - b > \ln a - a$ D、若 $m > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的图象与 $g (x) = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，令 $h (x) = f (1 - | x |)$ ，则关于函数 $h (x)$ 有下列说法，其中正确的说法为（）

A、 $h (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $h (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $h (x)$ 的最大值为 $0$ D、 $h (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上单调递增

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12. 若存在直线 $y = k x + b$ ，使得函数 $F (x)$ 和 $G (x)$ 对其公共定义域上的任意实数 $x$ 都满足 $F (x) \geq k x + b \geq G (x)$ ，则称此直线 $y = k x + b$ 为 $F (x)$ 和 $G (x)$ 的“隔离直线”，已知函数 $f (x) = x^{2} (x \in R)$ ， $g (x) = \frac{1}{x} (x < 0)$ ， $h (x) = 2 e \ln x$ ，下列命题为真命题的是（）

A、 $F (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(- \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ， 0)$ 内单调递增 B、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在“隔离直线”，且 $b$ 的最小值为 $- 5$ C、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在“隔离直线”，且 $k$ 的取值范围是 $[- 4 ， 0]$ D、 $f (x)$ 和 $h (x)$ 之间存在唯一的“隔离直线” $y = 2 \sqrt{e} x - e$

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三、填空题

13. $2^{- 2} \times {(2 \frac{1}{4})}^{- 0.5} + {(0.01)}^{0.5} - \log_{3} 2 \cdot \log_{4} \sqrt[3]{3} =$ ．

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14. 设全集 $S = {x | x^{2} - a x + 15 = 0 ， x \in R}$ ， $∁_{S} A = {5}$ ，则集合 $A =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + a - 4 ， x \geq 1 ， \\ x + a + 2 ， x < 1 ， \end{array}$ $g (x) = | \log_{2} (x + \frac{1}{x}) - 2 |$ ，若函数 $y = f (g (x))$ 恰有6个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知a，b为正实数，直线 $y = 2 x - a$ 与曲线 $y = \ln (2 x + b)$ 相切，则a与b满足的关系式为． $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在复平面内，O为坐标原点，复数 $z_{1} = \sqrt{3} + i$ ， $z_{2} = 1 + \sqrt{3} i$ 所对应的向量分别为 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ .

(1)、求 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 所对应的点C的坐标；

(2)、求 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ B O C}}$ 的值

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18. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + a) e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线 $l$ 与直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 垂直．

(1)、求 $l$ 的方程；

(2)、求 $f (x)$ 的极值．

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 \ln (1 - x)$ （ $a$ 为实数）．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处有极值，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- 3 ， - 2]$ 上是增函数，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $g (x) + h (x) = 3^{x}$ ，其中 $g (x)$ 为奇函数， $h (x)$ 为偶函数．

(1)、求 $g (x)$ 与 $h (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $2 \ln [h (x)] - \ln [g (x)] - t = 0$ 有解，求实数 $t$ 的取值范围．

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21. 党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略.如图，A村､B村分别位于某河流的南､北两岸， $A C ⊥ B C ， B C = 5$ 公里， $∠ B A C = 30 °$ ，现需将A村的农产品运往B村加工.乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为 $2 a$ 元/公里.

(1)、给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村.试比较两种方案，哪种方案更优？

(2)、为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸 $A C$ 上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工.试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由.

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22. 设函数f(x)=ax²-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得 $f (x) > \frac{1}{x} - e^{1 - x}$ 在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．

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