安徽省安庆市重点高中2022届高三上学期理数10月月考试卷

试卷更新日期：2021-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {y | y = x^{2} + 2 ， x \in R}$ ，集合 $B = {x | y = \lg (x - 1)}$ ，则阴影部分所示集合为（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[1 ， 2)$

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2. 已知命题 $p : \exists x \in R, x^{2} - x + 1 \geq 0$ ；命题 $q :$ 若 $a^{2} < b^{2}$ ,则 $a < b$ ．下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land^{\neg} q$ C、 $^{\neg} p \land q$ D、 $^{\neg} p \land^{\neg} q$

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3. 设a=log₃2，b=log₅3，c= $\frac{2}{3}$ ，则（）

A、a<c<b B、a<b<c C、b<c<a D、c<a<b

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4. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \cos x$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $f (x) = ln (x^{2} - a x - 3)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 单调递增，求a的取值范围（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a < 2$ C、 $a \leq - 2$ D、 $a < - 2$

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6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.23 (t - 53)}}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $t^{*}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（）（ln19≈3）

A、60 B、63 C、66 D、69

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7. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足关系式 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (2) + e^{x}$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值等于（）

A、-2 B、 $\frac{e^{2}}{2} - 2$ C、 $- \frac{e^{2}}{2}$ D、 $- \frac{e^{2}}{2} - 2$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (- x)$ ，且当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) > 0$ 成立，若 $a = (3^{0.2}) \cdot f (3^{0.2}) ， b = (\ln 2) \cdot f (\ln 2)$ ， $c = (\log_{3} \frac{1}{9}) \cdot f (\log_{3} \frac{1}{9}) ，则 a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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9. 对任意实数 $a$ ， $b$ 定义运算“ $⊙$ ”： $a ⊙ b = {\begin{array}{l} b ， & a - b \geq 1 \\ a ， & a - b < 1 \end{array}$ ，设 $f (x) = (x^{2} - 1) ⊙ (4 + x) + k$ ，若函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴恰有三个交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 1)$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(- 2 ， 1)$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 x$ ，函数 $g (x)$ 与 $p (x) = 1 + \ln (- 2 - x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称，若 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{\ln 2 - 1}{2}$ C、 $\ln 2$ D、 $\frac{1}{2} \ln 2$

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11. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x + 1) ， x > - 1 \\ 1 ， x = - 1 \\ 2 ， x < - 1 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) - b f (x) - c = 0$ 有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} \in [- 1 ， + \infty)$ ，则 $f (x_{1} + x_{2} + x_{3} + b + c) =$ （）

A、 $\log_{2} 5$ B、 $\log_{2} 6$ C、3 D、2

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12. 对于任意的实数 $x \in [1 ， e]$ ，总存在三个不同的实数 $y \in [- 1 ， 5]$ ，使得 $y^{2} x e^{1 - y} - a x - \ln x = 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{25}{e^{4}} ， e^{2} - \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{25}{e^{4}} ， \frac{3}{e})$ C、 $(0 ， \frac{25}{e^{4}}]$ D、 $[\frac{25}{e^{4}} ， e^{2} - \frac{3}{e})$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = e^{a x + 1}$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为 $a$ ，则 $a$ 的值为.

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14. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{3}{4} ， 0)$ 对称，且满足 $f (x) = - f (x + \frac{3}{2})$ ，又 $f (- 1) = 1$ ， $f (0) = - 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2021) =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = | \log_{2} x |$ ，正实数 $m$ ， $n$ 满足 $m < n$ ，且 $f (m) = f (n)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[m^{2} ， n]$ 上的最大值为2，则 $m + n =$ .

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16. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (4 + x) = f (4 - x)$ ，且当 $x \in (0 ， 4]$ 时， $f (x) = \frac{ln (2 x)}{x}$ ，关于x的不等式 $f^{2} (x) + a f (x) > 0$ 在 $[- 200 ， 200]$ 上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 6} ， g (x) = x^{2} + 2 m x + \frac{13}{11}$ .

(1)、若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值；

(2)、若∀x₁∈[2，4]，都∃x₂∈[2，4]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数m的取值范围.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $∠ A D P = 90^{\circ}$ ，平面 $A D P ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $F$ 为棱 $P D$ 的中点．

(1)、在棱 $A B$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $A F //$ 平面 $P C E$ ，并说明理由；

(2)、当二面角 $D - F C - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值．

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19. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a}{e^{x} - a}$ （ $e$ 为常数， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ）．

(1)、若 $a = 1$ ，求证：函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、若 $a < 0$ ．
①用定义法证明函数 $f (x)$ 的单调性；

②若存在 $x \in [1 ， 2]$ ，使得 $f (x^{2} + 2 a x) > f (4 - a^{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 如图， $A$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左顶点，过 $A$ 的直线 $l$ 交抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于 $B$ 、 $C$ 两点， $C$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证：点 $C$ 的横坐标是定值，并求出该定值；

(2)、若直线 $m$ 过 $C$ 点，且倾斜角和直线 $l$ 的倾斜角互补，交椭圆于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $p$ 的值，使得 $Δ B M N$ 的面积最大.

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21. 在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于 $a$ 的方程 $a e^{a} = e^{6}$ 和关于 $b$ 的方程 $b (\ln b - 2) = e^{3 λ - 1} (a ， b \in R)$ 可化为同构方程.

(1)、求 $a b$ 的值；

(2)、已知函数 $f (x) = x (\ln x + \frac{1}{3} λ)$ .若斜率为 $k$ 的直线与曲线 $y = f' (x)$ 相交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ 两点，求证：. $x_{1} < \frac{1}{k} < x_{2}$

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22. 直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} + t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $0 < α < π$ ），曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{2 \cos θ}{\sin^{2} θ}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，当 $α$ 变化时，求 $| A B |$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x + 1 | + | 3 x - 1 |$ ， $M$ 为不等式 $f (x) < 6$ 的解集.

(1)、求集合 $M$ ；

(2)、若 $a$ ， $b \in M$ ，求证： $| a b + 1 | > | a + b |$ .

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