广东省八校2021-2022学年高二上学期数学期中调研试卷

试卷更新日期：2021-11-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $\vec{a} = (1 ， y ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1 ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $y$ 等于（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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2. 已知点 $F_{1} (- 5 ， 0)$ ， $F_{2} (5 ， 0)$ ，动点 $M$ 满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 10$ ，则动点 $M$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、直线 C、线段 D、圆

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3. 已知一直线经过点 $A (2 ， 3 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 0 ， 5)$ ，下列向量中不是该直线的方向向量的为（）

A、 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 1)$ B、 $\vec{a} = (- 1 ， - 1 ， 1)$ C、 $\vec{a} = (- 3 ， - 3 ， 3)$ D、 $\vec{a} = (1 ， 1 ， - 1)$

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4. 圆 $O_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 和圆 $O_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ 的公切线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知直线 $l$ ： $x + 2 m y - m - 2 = 0$ 过定点 $P$ ，直线 $l^{'}$ 过点 $P$ 且与直线 $x + y - 2 = 0$ 垂直，则直线 $l^{'}$ 的方程为（）

A、 $2 x - 2 y - 3 = 0$ B、 $2 x + 2 y + 3 = 0$ C、 $2 x - 2 y + 3 = 0$ D、 $2 x + 2 y - 3 = 0$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 2 ， t)$ 的夹角为钝角，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 6)$ B、 $(- \infty ， - 6) \cup (- 6 ， \frac{10}{3})$ C、 $(\frac{10}{3} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{10}{3})$

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7. 已知点 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，直线 $y = \frac{2 b}{3}$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $∠ A F B = 90 °$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 已知直线 $l ： x - \sqrt{3} y + 6 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 12$ 交于 $A ， B$ 两点，过 $A ， B$ 分别作 $l$ 的垂线与 $x$ 轴交于 $C ， D$ 两点，则 $| C D | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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二、多选题

9. 已知直线 $l ： m x + y + 1 = 0$ ， $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线l恒过定点 $(0 ， 1)$ B、当 $m = 0$ 时，直线l的斜率不存在 C、当 $m = 1$ 时，直线l的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ D、当 $m = 2$ 时，直线l与直线 $A B$ 垂直

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10. 以下四个命题中错误的是（）

A、空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为空间向量的一组基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 构成空间向量的另一组基底 C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - 2 \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 D、任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

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11. 已知点 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 均在圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 外，则下列表述正确的有（）

A、实数 $r$ 的取值范围是 $(0 ， \sqrt{13})$ B、 $| A B | = 2$ C、直线 $A B$ 与圆 $C$ 不可能相切 D、若圆 $C$ 上存在唯一点 $P$ 满足 $A P ⊥ B P$ ，则 $r$ 的值是 $3 \sqrt{2} - 1$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左､右焦点为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 点P在椭圆上，且不与椭圆的左､右顶点重合，则下列关于 $△ P F_{1} F_{2}$ 的说法正确的有（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为4+ $2 \sqrt{2}$ B、当 $∠ P F_{1} F_{2} = 90^{°}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的边 $P F_{1} = 2$ C、当 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{°}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、椭圆上有且仅有6个点P，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形

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三、填空题

13. 若方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1$ 表示椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是.

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14. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是．

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15. 已知 $m \in R$ ，方程 $(3 m - 1) x^{2} + (m^{2} + 1) y^{2} + 8 x - 4 y + 5 m = 0$ 表示圆，则圆心坐标是.

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16. 如图，在正方体 $O A B C - O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $G$ 为 $△ A C O_{1}$ 的重心，若 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O C} = \vec{b}$ ， $\vec{O O_{1}} = \vec{c}$ ， $\vec{O G} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，则 $x + y + z =$ .

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四、解答题

17. 若点A $(- 2 ， - 1)$ 与点B $(3 ， 2)$ 到直线 $a x + y + 1 = 0$ 的距离相等，求a的值．

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18. 已知空间三点 $A (0 ， 1 ， - 1)$ ， $B (- 3 ， 1 ， 3)$ ， $C (1 ， 0 ， - 1)$ .

(1)、求以 $\vec{A B}$ 、 $\vec{A C}$ 为边的平行四边形的面积；

(2)、若 $| \vec{a} | = \sqrt{41}$ ，且 $\vec{a}$ 分别与 $\vec{A B}$ 、 $\vec{A C}$ 垂直，求向量 $\vec{a}$ 的坐标.

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19. 在平面直角坐标 $x O y$ 中， $F_{1} (- 3 ， 0)$ ， $F_{2} (3 ， 0)$ ，点 $P$ 是平面上一点，使 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $16$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、求 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |$ 的最大值.

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20. 已知圆 $C$ 的圆心在坐标原点 $O$ ，直线 $l$ 的方程为 $x - y - 2 \sqrt{2} = 0$ .

(1)、若圆 $C$ 与直线 $l$ 相切，求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若圆 $C$ 上恰有两个点到直线 $l$ 的距离是1，求圆 $C$ 的半径的取值范围.

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21. 在如图所示的四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $P B //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $P A = A D = 1$ ， $A B = 2$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A E C$ 的夹角的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，且离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若斜率为 $k$ 且不过点 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 0$ ，求直线 $l$ 的斜率 $k$ .

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