北京市丰台区2021-2022学年高二上学期数学期中练习试卷（B卷）

试卷更新日期：2021-11-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $y = x + 1$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知直线 $l$ 经过点 $P (- 1 ， 3)$ ，且与直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 平行，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x - 2 y + 7 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x + y - 5 = 0$ D、 $2 x + y - 5 = 0$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (4 ， - 2 ， x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $x$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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4. 同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 如图，若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ B、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ C、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$ D、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$

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6. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，化简 $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{C C_{1}} =$ （）

A、 $\vec{D B_{1}}$ B、 $\vec{B D_{1}}$ C、 $\vec{A C_{1}}$ D、 $\vec{A_{1} C}$

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7. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（）

A、至少一次中靶 B、至多一次中靶 C、至多两次中靶 D、两次都中靶

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8. 如图，已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为1，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A'} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0 ， 1) ， \vec{b} = (0 ， 2 ， - 1) ， \vec{c} = (2 ， 4 ， m)$ ，若向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 共面，则实数 $m$ 的值为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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10. 已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数：
1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，3801

2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983

据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{13}{20}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{19}{20}$

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二、填空题

11. 已知直线 $l$ 经过点 $(1 ， 1)$ ，且与 $x$ 轴垂直，则直线 $l$ 的方程为.

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12. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (2 ， 3 ， 4)$ 在坐标平面 $x O y$ 内射影的坐标为.

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13. 如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于2，点 $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点，则 $\vec{B C} \cdot \vec{E F} =$ .

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14. 已知事件A与 $B$ 互斥，且 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.5$ ，则 $P (\bar{A}) =$ ， $P (A \cup B) =$ .

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15. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图.结构为戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如下图，若从五个阳数中随机抽取三个数.

4

9

2

3

5

7

8

1

6

(1)、试验的样本空间包含个样本点；

(2)、使得这三个数之和等于15的概率是.

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三、解答题

16. 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：

(1)、BC边所在直线的方程；

(2)、BC边的垂直平分线所在直线方程．

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17. 1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.

(1)、写出试验的样本空间；

(2)、求摸出的2个球颜色相同的概率.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1 ， - 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ （ $λ \in R$ ），求 $λ$ 的值．

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19. 某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别为 $\frac{4}{5}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，两种大树成活与否互不影响.

(1)、求甲种大树成活两棵的概率；

(2)、求甲种大树成活一棵的概率；

(3)、求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.

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20. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A B_{1} ⊥ E F$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 与平面 $A E F$ 所成的角；

(3)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A E F$ 的距离.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D$ // $B C$ ，点 $E$ 为 $P A$ 的中点， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $P A = \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 的夹角；

(3)、在线段 $P C$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $A F ⊥$ 平面 $P C D$ ？若存在，求出 $\frac{C F}{C P}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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